第３章仕事とエネルギー28�D（力学的エネルギー）

１．導入

ここ2回は連続で実験を行いました。しかし， 君たちのプリントを見ると，よくわかっていないようで， はじめにきちんと説明してなかったからだと思うので， 今日は時間をかけて復習していきましょう。

２．運動エネルギーの実験の復習

では，まずはじめに運動エネルギーの実験をしました。 速さに対する移動距離のグラフはどのようになりましたか？
そうだね。2次関数のようになった。 「速さと移動距離は放物線になる」というようなまとめもあったけど， それではどっちがｘかわかりません。正確に書くと…

というように，移動距離は 速さの２乗に比例すると書くとはっきりわかる。
しかし，移動距離と運動エネルギーの関係がはっきりわかっていないでしょ。 きちんと説明しますね。

�@鉄球は衝突前には動いているので運動エネルギーを持ちます。
�Aエネルギーというのは「どれだけの仕事をできるか」だから， その分だけ仕事をすることができます。
�B仕事は力×移動距離で与えられる。
�Cプラ片には動摩擦力が働くけど，動摩擦力は一定だから， 仕事と移動距離は比例する。
�Dよって，運動エネルギーは移動距離に比例する。

というわけで，この場合，移動距離のグラフと運動エネルギーの グラフは，大きさは違っても同じ形にはなるよね。
よって，はじめの実験の結果は…

というように， 運動エネルギーは速さの２乗に比例すると 書き直すことができます。

そのあとに，球の種類（球の質量）を変えて実験しました。 質量に対して移動距離はどうなった？
そうだね。比例のグラフになりました。

つまり， 運動エネルギーは質量に比例すると結論します。

では，運動エネルギーを式で表すとどうなるかな？
質量は何で表すんだっけ？
生徒：「ニュートン？」
ニュートンは力の単位だね。たとえば，力はFで表して， 単位は[N]。質量は？
生徒：「m」
そうだね，質量はmで表し，単位は[�s]。
速さは？
生徒：「・・・なんだっけ？」
v（ブイ）だよ！ブイ！単位は[m/s]。
では，mとvを使って運動エネルギーを表すと？
生徒：「mv²」
まあそうだよね。ただね，1/2mv²なんだよ。 これは別に予想できなくていいし， その昔はmv²と考えていた時もあったし， 詳しくは高１で説明する。

ところで，運動エネルギーを予想するときに， 俺は「理由はわからないと思うから書かなくてもいいよ」って言ったのだけど， 理由を考えた生徒がいます。

つまり，[J]（ジュール）＝[�s・(m/s)²]だから， 運動エネルギーは「質量」と「速さ」に比例すると。
生徒：「おー，すげー」
すごいよねー。俺もびっくりした！ このように単位を考えることを「次元解析」といって， 研究者も必ずやることです。単位が分かると 物理の7割はわかる。言い過ぎかもしれないけど， そのくらい重要なんだよ。

３．位置エネルギーの実験の復習

今度は位置エネルギー。ちなみに， 正確には「重力による位置エネルギー」といいます。 面倒なので，位置エネルギーといったら「重力のだな」と 思ってください。

さて，位置エネルギーが質量によってどう変わるかの実験は省略しました。 それは，運動エネルギーと質量の関係を求める実験で， 高さを同じにすることで速さを同じにしてたからです。 つまり同じ高さから質量を変えて実験したら， 移動距離は高さに比例するということです。

つまり， 位置エネルギーは質量に比例する。

位置エネルギーと高さの関係はどうだっけ？ そうだね，これも比例した。

つまり， 位置エネルギーは高さに比例する。

それでは，質量はm，高さはheightだからhで表すと， 重力による位置エネルギーはどのように書けますか？
生徒：「mh？」
いいねー。でもね，実はもう一文字必要なんですよ。 何だと思う？
H君：「・・・g？」
おー，すごい！そうなんです！なんでわかった？ H君：「なんか流れから。単位的に！」
そうだね，質量は[�s]，高さは[m]だから， [J]＝[�s・(m/s)²]にするためには， あと[m/s²]が必要。そして「重力による」位置エネルギーなのだから， と考えれば，重力加速度gが出てくるね。GOOD！ ちなみに，地球上と月面上で同じものを同じ高さから頭に落とされるなら どっちがいい？そりゃ月のがいいよね。 重力加速度が小さいからあまりはやくぶつからないよね。 だから位置エネルギーは重力加速度gに関係がある。

４．弾性エネルギーの実験の復習

さて，最後に実験したのがばねだね。 ばねの伸びに対して最高点の高さはどのようなグラフになった？
生徒：「放物線」
そうだね。 弾性エネルギーは伸びの２乗に比例するのです。

そして，1�pと2�pのばねではどちらが高く飛んだ？ そうだね，1�pの方が高く飛んだ。
では，1�pと2�pのばねの違いは何で表せる？ うーん，ちょっと言い方が悪いか。 ではどっちのばね定数が大きい？ そもそも，弾性力＝ばね定数×ばねの伸び　だった。 1�pと2�pのばねのどちらが固いかっていうと， 1�pの方が固いよね。 固いというのは，同じだけ伸ばそうとすると， より力が大きいということだね。 つまり，1�pの方がばね定数が大きい。

ということは，ばね定数が大きい方が弾性エネルギー は大きい。この実験でははっきり言えないけど， 弾性エネルギーはばね定数に比例するのです。 よって，ここから弾性エネルギーは，kとxでどう表せる？ 察しがよくなってきたね。

ちなみに，単位もちゃんとジュールになっているね。 このパワポのやり方より，[N/m]×[m]²＝[N・m]＝[J] のがいいね。

５．力学的エネルギーと仕事の関係

今日は話してばかりで申し訳ないね。 で，運動エネルギーと位置エネルギーと弾性エネルギーを 表した。3学期入ってすぐにエネルギーにはいろいろな種類が あることを話したけど，ややこしいので力学だけに話を限定します。 それで， この３つのエネルギーの合計を「力学的エネルギー」といいます。

そして，力学的エネルギーと仕事の関係は次の通り。

とりあえず，３学期はじめの方にやったけど， 仕事をされた分だけ，エネルギーは増える。 例えば，台車があって手で押したら速度が増加する。 これを別の言い方をすると，手で押した力が仕事をした分だけ， 台車の運動エネルギーは増加したと言える。 まあ，そういうことなんですが，「非保存力」 という言葉がわからないね。 これはとりあえず， 非保存力は，重力と弾性力以外の力と覚えておいてください。 張力とか垂直抗力とか手で押す力とか，重力と弾性力以外は非保存力。 それらのした仕事を右辺として扱う。

ところで，実験の感想におもしろいことを書いてくれた生徒が いるので，ちょっと考えてみよう。

ということなんだけど，どうだと思う？ まず２つ目の「高さとは角度なのか？」ということを考えてみよう。

このように，レールの角度を変えて同じ高さから落としたら， どれが一番プラ片が移動する？

生徒の予想： 右が2割程度，同じが8割

これは実験やってみたほうがいいのだけど， 高さが同じならば，移動距離は同じで， 角度は関係ない。

なぜかというと，ちょっと直接的ではないのだけど， 仕事の原理ってあったでしょ。

つまり，どの角度の斜面を使っても， 床にあった球をその高さに移動させるのに必要な仕事は同じ。 角度が小さいと力は小さくて済むけど距離が長い。 角度が大きいと力は大きく距離は短い。 だから，同じ高さにあるときもっているエネルギー， つまりどれだけの仕事をすることができるかは角度とかに依らない。

ということは，レールでなく振り子だったら？

別に斜面でなくとも高さが同じならば， 同じエネルギーを持っているということだね。

つまり，道筋・経路には関係ないわけ。重力の場合は。 このような力を「非保存力」というのです。

上の図は上空から見た図ね。 グランドでグランド整備するときにトンボを引っ張ったとするね。 上のように直線的に行くのと，下のようにグネグネいくのと どちらが楽？それは直線的だよね。 つまり，摩擦力は経路によって変わるよね。 そういう力を「非保存力」というのです。

６．まとめ

ずっと話をしてしまったね。すみません。 そしてさっきの式は運動方程式以上に大切な式なのかもしれないけど， まだ理解できていないよね。次回問題を解きながら 理解していこう。

授業を終えて。。。

・内容が多過ぎ。話が長い。 式で表すところはもっとサクッといけるかと思っていたが， 難しいようだった。
・中学生では式で表すことに慣れていないので， そんなに簡単に表せない(逆に言えば，ここが学習のしどころで ，高校へのつなぎなのかもしれない）。
・保存力についてはこれはサクッと流そうと思っていたが， 時間がかかってしまった。
・はじめの生徒に「いかに適当に」教えるかってことは大事なのかもしれない。
・それは「作用反作用」でも同じことが言えた。
・時間がなかったので取り上げなかったが， 生徒が「保存力ってどこに保存されるんだよ」とつぶやいていた。 パソコンの感覚だと思うが，「保存先」がある。 これはおもしろい発言だと思った。

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