運動量と力積③（はねかえり係数）
１．演示実験（衝突球とすっ飛びボール）
前回は運動量保存の法則を学習しました。 お互いに及ぼしあう力，内力だけが働いているときには運動量の合計は変化しない。 例えば，衝突するときにお互いを押す力だけであれば， 衝突前の運動量の合計と衝突後の運動量の合計は等しい。 これを運動量保存の法則といいました。
さて，ここに衝突球というおもちゃがあります。
左に１つ持ち上げます。手を放して衝突すると，
…（実際にやってみる）…
右に１つ弾かれます。衝突する前にはmvという運動量を持っていて，
衝突後にはmvでいってますよね。つまり運動量は保存している。
今度は２つ持ち上げて放すとどうなりますか？
…（実際にやってみる）…
そうだね，２つ左に行く。
３つなら３つ行きます。
運動量は保存しています。じゃあ５つなら？
生徒：「５つしかないんだから衝突しないですよ，先生」
そんなことはさすがに私もわかりますよ。
…（実際にやってみる）…
これも運動量は保存しているよね。5mvでいって5mvになっている。
では今度は，両方１つずつ同じ高さまで持ち上げて手を放したらどうなる？
生徒：「両方に１つずつはねかえる」
…（実際にやってみる）…
その通りでした。これも運動量が保存しているのがわかる？
衝突する前の運動量の合計はいくら？
生徒：「2mv」
残念！0ですね！
だって，右を正としたら，はじめの運動量の合計は(mv)＋(-mv)になるでしょ？
そして衝突後も合計に変化はない。２つずつやってもできるよね。
今度は，左に２個，右に１個で手を放したら？
そうですね，右に２個，左に１個はじかれます。
衝突前の運動量の合計は，2mv＋(-mv)で，mvになりますね。
3個2個だったら？3個1個なら？
……
しかし，おかしいことに気付きませんか？ 左に1個持ち上げて，右に1個はじかれる。 これはいいですよ。mv=mvで，間違いない。 しかし，mv＝4m×(1/4v)であってもいいはずです。 つまり，4個が1/4の速さで飛び出したっていいでしょう？ でも1個しか飛び出さない。 これはねー，工夫がされているのです。 接しているかのように見えますが， わずかに隙間が空いているのです。 よって，瞬間的に衝突するというよりは，１つずつ衝突しているのです。 だから１つしか飛び出さないのです。 この隙間に広さにも試行錯誤があったと思いますよー。
さてお次はこちらです。
これはどうなっているかというと，
質量の違うスーパーボールが５つ串刺しになっている。
最後の一番小さいのは離れられるけど，
それ以外のは枠があって飛び出すことはできないようになっています。
これを落とすとどうなると思う？
生徒：「すっとぶ？」（見たことある生徒もそれなりにいる）
やってみると，
…（演示実験）…
ほら，すっ飛びました。この商品名は「すっ飛びボール」です。
原理は理解できますか？
落とすと一番下の大きなボールが跳ね返る。
そして2番目のボールと衝突する。
運動量は保存するから，1番目のボールが止まったとすれば，
質量が小さい2番目のボールの速度ははじめの1番目の
ボールの速度よりも大きくなる。そして2番目が3番目に，
3番目が4番目に…ということが起こり，
しかも質量がどんどん小さくなっていくので，速さは大きくなっていく。
で，すっ飛ぶ，というわけです。
これも「運動量保存の法則」を示しているわけです。
ということを前回学習したわけです。
２．演示実験（跳ねるボールと跳ねないボール）
さて，ここから今日の内容です。
ここにボールがあります。手を放すと跳ね返ってきます。
スーパーボールみたいでしょ。
しかし，これは「超」スーパーボールで，
こうやって（手で握って）ギュッとすると，（手を放す）
（演示して見せる→ボールは弾まない）
こうやって弾まなくなってしまうのですよ！
もう一度ギュッとやってあげると，
（演示して見せる→ボールは弾む）
元に戻って跳ね返る！すごいボールでしょ！？
えー，まだわからない人がいるの？弾むボールと弾まないボールがあるのですよ！
俺のマジックも少しずつうまくなってきたかな？
ほとんど見分けがつかないでしょ？
これらを落としてみますよ。
ということで，ボールや床によって跳ね返り方は違うよね。 これを「はねかえり係数」といいます。 今日は「はねかえり係数」というものを学習します。
３．はねかえり係数
こういうボールがあるわけですが，これまでの物理法則もそうでしたが， 一番重要なことは何かというと， 「同じ高さから落とすと，同じ高さまで跳ね返る」という事実です。 暗黙の了解にしていましたが，同じ条件であれば，同じ結果が表れる。 これが古典力学の前提条件になっているのです。 台車が台車に衝突したらどうなるか， 同じ条件でやって違う結果になったら計算の意味がないですよね。
しかし，このボールで落とすのと， このように同じ材質の壁にぶつけるのでは関係が違ってしまいますか？ そうではなく，同じボールと同じ板であれば同じ関係があるはずですよね。 ということは，落とす「高さ」と跳ね返る「高さ」ではなく， ぶつかる直前の「速さ」とぶつかった直後の「速さ」に関係性があるとした方が適用範囲が広い。 この比を「はね返り係数」といいます。
２つのボールが衝突する場合ではどうでしょうか？ つまり，床ではないので動くことができます。 このときのはねかえり係数は，相対速さの比になります。 ここで，相対速度ではなく，相対速さといったのは， 向きは考慮せずに絶対値を考えているからです。
このとき，２球の式と床の式の両方を覚えようとしないこと。 だって，２球の片方の速さを衝突前後ともに０とすれば， 導出できるわけです。 また，２球の式は絶対値を外せます。 衝突前は「近づく」のだから，ｖ＞Vだよね。 衝突後は「離れていく」のだから，ｖ’＜V'だよね。 相対速度の分子分母のどちらかはプレスで， どちらかはマイナスになります。
では，斜めの場合はどうでしょうか？ よく考えてください。摩擦はないとしますよ。 そもそもなんで跳ね返るかというと， 壁などがボールを押している力があるからです。 しかし，水平方向には摩擦がなければ， 水平方向には力は働かない。 ということは，水平方向の速度成分は 変わらないということになります。 つまり，面に垂直な成分だけ考えて， はねかえり係数は成立します。
さて，はねかえり係数の数値には範囲がありますが，わかりますか？
はねかえり係数の下限はいくらですか？
生徒：「０です」
そうですね。速さが０より小さくなることはないからね。
それは「はねかえり係数が０ならば，
物体同士がくっつく」ということです。
このときを完全非弾性衝突といいます。
では，上限は？
生徒：「１です」
そうだね。はねかえり係数が１より大きかったら，
もうなんていうか，物理学自体が困ったことになるね。
だって，1mの高さからボールを落としたら1mより高く戻ってくるわけだよね。
つまり，エネルギー保存の法則が間違っていることになる。
それはありえない。
つまり，
はねかえり係数の上限は１です。これを弾性衝突もしくは完全弾性衝突といいます。
0＜e＜1のときは「非弾性衝突」といいます。
４．問題演習
では次の問題をやってみよう。
では，次回はこの解答からです。
５．まとめ
今日ははねかえり係数を学習しました。 あまり海外では教えられていない項目です。 でもなぜ日本で学習するかというと， ２球が衝突した状況の運動量保存の法則を考える時に， 衝突後の速度は両方ともわからない。 つまり変数が２つあるのです。 ということは運動量保存の法則の式だけでは足りません。 だから，はねかえり係数の式を使おうというわけです。 しかし，はねかえり係数自体，実験的に決定するしかないし， 根本的な原理があるわけではないので， あまり大きく扱うのもどうかとは思うのですが， 日本の入試では頻出ですので，使えるようにしましょう。
授業を終えて。。。
・時間があるならば，はねかえり係数の実験はやるべきだ。
こちらを参照。
・床との衝突で，v’の意味（速さ？速度？）で混乱が生じた。
前回はここは入れていなくて，今回は両方とも紹介する流れにしたが，
結局教え込みの段階ではあまり理解できない。
自分で適用させて理解できるだろうから，ほっといた方がよい。
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