物理基礎の力学⑰（仕事とエネルギーの復習）

１．導入

中三の３学期に仕事とエネルギーを勉強したのだけど（中三物理），覚えていますか？
生徒：「…」
うーん，悲しい。それでは１つずつ復習していこう。

２．仕事と仕事の原理

はい，ではI君，仕事ってなんだっけ？
I君：「わかりません」
では，机をもって立っていなさい。だめだめ，動かしては。同じ高さでキープ！
はい，それでは，仕事っていうのは，力×移動距離です。
あれ，I君疲れた。おかしいな，いま君がしている仕事は，０なんだけど。なんで？
動かしていないからです。その通り！座ってよし！って，このくだり去年もやったんだけど…覚えていない。

ちなみに，仕事は力×移動距離ですが，垂直だと０，反対向きはマイナス。数学で同じことを習っていない？そうなんですね，ベクトルの内積！仕事は，力のベクトルと変位のベクトルの内積なんです。こういうところで数学の知識も生きてくるよ。

※さすが，仕事の原理の実験をやったことだけは覚えているようです。しかし，何が導かれたかは覚えていない。動滑車の距離だって中三で説明したはずなのに…

はい？K君？
K君：「仕事が同じだったら，道具の意味がないじゃないですか？」
なるほど。でも，力が小さくなることは意味がある。道具がなかったら家に帰れないよ。例えば，ドアノブも道具で，もともとドアには割り箸くらいの軸が付いていて，それにドアノブを付けることで半径を大きくしている。それにより円周が大きくなる，つまり力を加える距離を長くしている分，力は小さくて済む。軸だけだと俺でも回らない。ちなみに壊れて取れたことがあって困ったの。
S君：「自動ドアだったら帰れる！」
あのね，自動ドアもモーターであけている。歯車や輪軸がたくさんついていて開けられるの！

３．エネルギー

さて，中三のときには位置エネルギーは，重力による位置エネルギーはmgh，弾性力による位置エネルギーは1/2kx² で覚えなさい，としました。ここではもう少し詳しく説明しておきましょう。

まず，位置エネルギーというのは，
位置エネルギー＝基準からその位置まで保存力に逆らってゆっくり移動させたときに，外力がする仕事
もしくは，
位置エネルギー＝ー基準からその位置まで移動させたときに，保存力がする仕事
と定義されます。

重力による位置エネルギーについて考えてみましょう。
鉛直上向きにx軸を設定して， x＝0からx＝hまで質量mの物体をゆっくり移動させます。「ゆっくり」なので，力がつり合った状態で等速直線運動させます。つまり，加える外力は上向きにmgでよい。このときに外力がした仕事はいくらですか？
そうです。mghですね。外力がした仕事はその場所の位置エネルギーですので，
重力による位置エネルギー＝mgh
と求まります。

ちなみに，このmghは，力と距離のグラフの面積になる。重力はどこでもmgで，x＝0からx＝hまでいくので，底辺mg×高さh＝mgh。

ただこれだけであったら，何の力でも位置エネルギーが定義できそうですが，そうはいきません。保存力でないと位置エネルギーは定義できないのです。いまはまっすぐ上に持って行きましたが，重力の場合であれば斜面を使って持って行っても，動滑車を使って持って行っても，仕事の原理からmghであることは変わりません。つまり，位置を決めたら，位置エネルギーは１つに決まる。
しかし，摩擦力では違う斜面を通ってその位置にいくと，仕事は違う値になってしまう。つまり，位置を決めても位置エネルギーがいろいろになってしまう。これでは意味がありません。位置エネルギーとはその位置にあることで「決まる」量でなければならないからです。

では，弾性力の位置エネルギーを考えてみましょう。
自然長の状態をx＝0として，x＝xまで移動させてあげる。弾性力の大きさってなんだっけ？
生徒：「F＝kx」
そうだね。では，xだけ移動させると外力がする仕事は？
生徒：「kx²？」
うん，そう考えるとさっき教えた1/2kx²と合わなくなる。 1/2はどこから来たかわかる？
生徒：「…」
（力と距離のグラフの軸を板書する）
生徒：「こうだからですか？（斜めに手を切りながら）」
おう！そうそう。どういう意味？生徒：「ばねの力は斜めだから面積は三角形で1/2になる」
すばらしいね。その通りです。先程の重力はx＝0でもmg， x＝hでもmgだったけど，弾性力はばねの伸びに比例する。つまり，x＝0だと0，x＝xのときkx。一次関数になり，底辺x×高さkx×1/2＝1/2kx²となるのです。数学で積分を習うとよくわかるので，それはお楽しみに。

４．まとめ

今日はここまでにしましょう。仕事とエネルギーを復習したけど，次回はそれらの関係について考えましょう。

授業を終えて。。。
・やはり覚えていないので，生徒に机を持たせたり，私がかごを運んだり，中三でやったことを繰り返しながら復習した。
・そのために，エネルギーの原理までは終わらせようと思っていたが，ここまでしか進まなかった。
・少しでも記憶に残そうと，中三のとき頑張って実験したのだが，実験の記憶は残っていても，その結果は残っていない。残念です！でもそういうものか？

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