物理基礎の力学�O（運動方程式の練習問題）

１．導入

前回は空気抵抗があるときのv-tグラフを予想してもらいました。 まずは次の問題の(1)を解いてもらおうかな。

２．問題演習（空気抵抗）

これは中三でも，2学期期末でも学習した内容だね。 上空2000mから自由落下させるのだから，v0＝0，g＝10を 等加速度運動の公式に代入して，
v＝10t　…�@
x＝1/2・10t²　…�A
v²＝2・10x　…�B
と書けます。�Aにx＝2000を代入して，
2000＝1/2・10t²
t＝20[s]
つまり，落下するまで20秒かかり，これを�@に代入して，
v＝200[m/s]
ちなみに，時速にすると，720[km/h]！

つまり，雨が時速720キロで降ってくる！どうなんだろうね。 私の概算では家庭用の高圧洗浄機が時速72キロ。 その10倍！うーん，間違いなく痛い！

しかし，実際にはそんなことは起きていない。 それは空気抵抗があるからです。 (2)を解いてみましょう。
（机間巡視）
これはできないねー。前回同じことを説明しているんだけどな。
まず落下しているときに，雨粒に働いている力は？ そう，重力と空気抵抗力。重力は�r，空気抵抗力は 速さに比例するから，比例定数をkと置けばkvと書くことができる。 下向きの加速度をaとすると，運動方程式は
ma＝�r−kv＜br＞ はじめはvが0なので，a＝g。重力加速度と同じ加速度で落ちようとする。 ちょっとでも動き出す，つまり速さが出てくると， a＝g−kv/m
であるので，v-tグラフの傾きは小さくなる。 つまりv-tグラフはゆるやかになる。 それでも速くなっていき，最終的にはa＝0に近づく。 つまり，このとき，�r＝kv。重力と空気抵抗力はつりあうようになる。

生徒：「どんどん速くなるのはわかるんですけど， 加速度は0になるんですか？」
厳密には近づく。漸近する。でもね，給料を考えてみてよ。 若いときは結構給料が上がります。1年で月給が1万円くらいあがる。 でもだんだんあがりが少なくなってきて， 50歳になると1年で月給が0.1円しか上がらなくなったとするよ。 月給が0.1円しか上がらなかったら，「給料なんかあがってないよ！」 というよね。最終的にはそんな感じです。まあここは仮定の話。 給料のことよく分かっていないんだよね。 しかし私のように能力が高い人はもっともらってもいいよね？ （生徒苦笑）

そうすると，最終的な速さは，
v＝�r/k≒1.3[m/s]
となります。先ほどと比べるとかなりゆっくり。 ちなみに，この質量の雨って霧雨です。 例えばもっと質量が大きい雨だったらどうなると思う？
そうです。速くなります。質量mが分子にきているからね。 本当は重くなるってことは粒が大きくなるので， 空気抵抗の比例定数kもちがうはずです。 しかも粒が大きくなると速さの２乗に比例すると言われているので， 一概には言えませんが，実際に夕立のような粒の大きい雨は速く， 10倍近くまでいきます。

３．問題演習（運動方程式）

では，次の問題で運動方程式はとりあえずお終いにしましょう。

うーん，厳しいかー。 とりあえず力を書いてごらん。 そしたら加速度の向きを書いて，軸を設定する。 軸に対して斜めの力は分解する。 x軸方向には運動方程式，y軸方向には力のつりあいの式を立ててごらん。 そうすると加速度が求められる。 そしたらv-tグラフでも等加速度運動の式でも使って Lを求められる。

ちなみに合力はどっち向き？ 斜面下向きだよね。いま斜面上向きに動いていて 斜面下向きに加速度があるってことは， そう，減速していくってこと。 だから加速度がマイナスになる。

※生徒の反応によってヒントを出しながら 解かせました（でもほとんど私が解いた）

４．まとめ

これで運動方程式は終わりです。問題集を解いて 練習をしておいてください。

授業を終えて。。。
・最後の問題は唐突すぎる。 本当はもっといろいろな問題を解いていかなければならない。 アトウッドや台の上の物体の運動も扱いたい。 しかし時間がない。一応最後の問題はエネルギーの原理を使っても 計算する。そのための問題だが複雑か。 入試を考えるとそうなるが，そのためにこうした問題を 入れることで，いままで考えてきたことを無にしかねない。 結局運動方程式を機械的に立てられれば入試は解ける かもしれないが，最後の力にはならないとも思う。

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