物理基礎の力学�Q（エネルギーの原理）

１．導入

前回は仕事とエネルギーを復習しました。 仕事はどう求めるのだっけ？そう，力×移動距離。 ただし，垂直だと０で，反対向きだとマイナスだったね。

２．エネルギーの原理

10m/sだと俺は追いつけませんが…， この状況をこれまで学習してきた運動方程式で考えると， 「力を加えたので加速した」とみることができます。 これを別の見方をすると， 「仕事を加えたので運動エネルギーが増加した」ともいえるわけです。

これをエネルギーの原理（タイプ�@） といいます。タイプ�@というのは私が勝手につけたものです。 普通「エネルギーの原理」とか「仕事とエネルギーの関係」とよびます。 これは次のように導出されます。

つまり何が言いたいかというと， エネルギーの原理も運動方程式から導かれるということ。 運動方程式は力学で非常に大切です。 ちなみに，ここでは等加速度運動の式を使いましたが， 等加速度運動でなくても成り立ちます。

さて，これを変形すると，次のようになります。

まず，保存力というのは，経路によって仕事が変わらない力です。 前回，台車を高さhまで運ぶのに，定滑車を使っても動滑車を使っても 斜面を使っても，結局仕事は�rhでした。 このとき重力がした仕事は-�rhです。 これは経路を変えても同じになるので，重力は保存力。 同じように弾性力と静電気力も保存力です。 それ以外，例えば摩擦力，張力，手で押す力，垂直抗力…他すべて が非保存力です。

タイプ�@からタイプ�Aへの変形はここでは詳しく立ち入りません。 簡単にいうと，タイプ�@の「すべての力がした仕事」は 「保存力がした仕事」と「非保存力がした仕事」に分けられる。 タイプ�Aでは力学的エネルギーのなかで重力や弾性力がした仕事を考える分， 仕事では保存力を考えないというわけです。 厳密には位置エネルギーの定義は「−保存力がした仕事」だからです。 まあ，次回問題をやったときにもう一度説明しましょう。

３．力学的エネルギー保存の法則

タイプ�Aまできてしまえば簡単ですね。 もし，非保存力がした仕事が０であれば， はじめとあとの力学的エネルギーは等しくなる。 つまり，力学的エネルギーは保存されます。

これで，３学期の重要なところの説明は終わりです。 ここから問題を解いたり，考えたりしていきましょう。

４．問題演習（エネルギーの原理）

では，まず１問いってみましょう。

どこかで見たことある？そうだね， 運動方程式のはじめの問題と同じです。 エネルギーの原理は運動方程式から導かれたのだから， 当然運動方程式でも解ける。 ここでは，エネルギーの原理を使って解いてみてね。

ではもう一問。

これも運動方程式で解いた問題です。 (1)は摩擦がないので，力学的エネルギーは保存する。 タイプ�@，タイプ�A，力学的エネルギー保存則と３つの解き方ができる。

これでタイプ�@とタイプ�Aの違いはわかるかな？ タイプ�@のーmgLsinθが左辺に移項したのが，タイプ�Aです。 タイプ�Aでは位置エネルギーも含めた力学的エネルギーを考える代わり， 仕事は非保存力だけでよいということ。

生徒：「解けるんだから運動方程式でいいじゃん」
運動方程式で解けることは重要だね。 でもね，次の場合ならどう？

角度がどんどん変わっていくからmgsinθが一定ではない。 これを運動方程式を使って解くというのはかなり難しい。 私も怪しい。でもね，力学的エネルギー保存の法則を使うと， mgh＝1/2mv²から一瞬で求められる。 便利でしょ！だから別の見方をするというのは， 面倒であるけれど，大切なことなんです。

４．まとめ

今日はエネルギーの原理から 力学的エネルギー保存の法則まで導きました。 最後の問題なんかはかなり難しいし， まだエネルギーの考え方に慣れていないと思います。 次回は少し実物を見て考えていきましょう。

授業を終えて。。。
・中三のことはほとんど残っていない。 運動エネルギーは，「教習所で，速さが2倍になると止まるまでの距離が 2倍ではなく4倍になるって習うよ」と話したことを覚えていた。 たぶんみんなではないので，うまくヒットした発言・実験は残る可能性がある。 ということは，いろいろな解釈をいってあげた方がよいということか？
・最後の問題の(1)は力学的エネルギーを使って解くだろうと予想していたが， みんなエネルギーの原理（タイプ�@）を使う。 それだけ中三のエネルギーが残っていないのだと思うし， その前の問題と同じ解き方をするということ。
・タイプ�@とタイプ�Aの違いは理解できていないだろう。 仕事とエネルギーの違いがはっきりしていないのが原因。 「授業後にタイプ�Aの左辺では＋mghなのに， タイプ�@の右辺では−mghなのですか？」という質問をもらった。
・時間が足りていない。いくつかのクラスは最後の問題が次に回った。 問題演習が多いが，受験を考えるとどうしてもここまで 解けてほしいと思ってしまう。生徒が自宅学習で行えばいいだけなんだけど…。

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