第３章仕事とエネルギー28⑪（振り子の力学的エネルギー保存）

１．導入

一応前回で内容は終わっていますが，今日は課題を考えてもらって，理解を深めたいと思います。

２．振り子はどこまで振れるか？（通常バージョン）

さあ，問題です。この白い線から手を離すと，どこまで振り子は振れるでしょうか？

生徒：「同じ高さ」
なんで？
生徒：「力学的エネルギーが保存するから。」
そうだね。でも，なんで力学的エネルギーが保存するの？
M君：「非保存力が働いていないから？」
待て待て。働いている力は何がある？
M君：「重力と張力」
重力は保存力だけど，張力は非保存力だね。働いているよ。
生徒：「垂直だから。」
何と何が垂直なの？
生徒：「張力の向きと進む向き。」
そうだね。張力と移動方向が垂直だと何なの？
生徒：「仕事が０」
そうだね，張力という非保存力が働いているけど，常に進行方向と垂直を保ったまま移動するので，張力がする仕事は０。つまり，非保存力がする仕事は０。
ここの範囲で大切なのは，
あとの力学的エネルギー　－　はじめの力学的エネルギー　＝　非保存力がした仕事
という式だといったね。ここでは，右辺が０になるから，はじめの力学的エネルギーと後の力学的エネルギーは等しい。つまり，力学的エネルギーは保存する。はじめは位置エネルギーがあって，運動エネルギーは０。最下点に来ると位置エネルギーは０になって，全部運動エネルギーになる。また上がっていくと，運動エネルギーが位置エネルギーに変換されて最高点で位置エネルギーだけになる。まあ，式で表せば，
mgh＝mgh'
だから，h＝h’となり，はじめとあとの高さは同じになるってことだね。
※黒板に，この流れを書きました。

では，やってみましょう。

まあ，当たり前だね。ちょっと空気抵抗や黒板の振動で，少し下にはなるけどほぼ同じ高さです。この後の問題でこのくらいの高さまで振れたら「同じ高さ」としてください。

３．振り子はどこまで振れるか？（釘バージョン）

では課題です。

生徒の予想：
ア．2人
イ．多数
ウ．4人

じゃあ，アの人は？
N君：「動く長さが同じになるのかな。」
動く長さ？あー，はじめから最下点までの弧の長さと，最下点からアまでの弧の長さが同じになると。はーなるほど。
？君：「なんとなく，平行になるまで行くのかなと。」
あー，釘に引っかかっておもりが水平になるまで行くと。なるほど。

では，ウの人は？
I君：「同じ角度まで振れると思ったから」
えーっと，同じ角度というのは，はじめの点から最下点までの角度と，最下点からウのところまでの角度ってことね。なるほど。
M君：「釘が左向きに力をくわえているじゃないですか。だから，－Fxで力学的エネルギーは減少するから・・・。」
なるほどね。つまり，左向きに力を加えているのに右向きにおもりは動いているから，マイナスの仕事をしたってことね。

では，イの人の意見を聞いてみましょう。
E君：「M君はマイナスの仕事をするっていったけど，釘は左に力を加えるけど，おもり自体に力を加えているわけじゃないから非保存力がした仕事は０で，力学的エネルギーは保存するから，同じ高さになる。」
オーケー。みんな言っていること分かった？
生徒：「・・・」
つまり，釘は力を加えているけど，実際におもりに働いているのは張力で，張力は常に進行方向に垂直で，仕事は０だからさっきと同じように力学的エネルギーは保存するってわけね。

さあ，じゃあやってみましょう。

ということで，正解は，「イ」（同じ高さ）です。E君の意見は完璧です。おもりに働いているのは張力で，それは常に進行方向に垂直。よって，非保存力がした仕事は０。だから，力学的エネルギーは保存する。はじめもあとも速さは０なので，運動エネルギーは０。よって，mgh＝mgh’となり，はじめとあとの高さは等しくなる。正解の理由をきちんとまとめておいてください。

しかしね，M君の釘は仕事をしているかって，これは実はすごく難しい話になるのです。とりあえず今のところは１つの物体，ここではおもりに着目して考えることを基本としましょう。

４．振り子はどこまで振れるか？（カッターバージョン）

もうひとついってみましょう。

生徒の予想：
ア． 3人→0人
イ．23人→13人
ウ．15人→多数
※この問いは挙手の後，周囲と相談させた。矢印のあとの人数は相談後の人数。

ではイの人から聞いてみましょう。
H君：「張力がなくなるので，非保存力の仕事は０だから，力学的エネルギーは保存する。」
なるほど。切れた後ってことね。
S君：「最高点では速さが０になるのだから，はじめの位置エネルギーとあとの位置エネルギーは同じ」
で，同じ高さになると。

では，ウの人，反論をどうぞ。
M君：「糸が切れて引っ張り上げる力がなくなるのだから，イまで上がらない。」
？君：「切れるまでは力がつりあっているけど，切れると重力だけだから…」
MT君：「はじめは位置エネルギーだけだけど，あとは運動エネルギーがあるので・・・」
じゃあさ，さっき書いていたものを黒板で書いて説明してくれる。

※MT君の書いた図をパワポで再現した

MT君：「はじめに手を離したときは，速さが０で運動エネルギ－が０。だから全部位置エネルギー。下に来ると，位置エネルギーが０で全部運動エネルギー。切れるところでは，位置エネルギーがあって，残りは運動エネルギー。最高点では横に運動エネルギーがあるから，位置エネルギーは全部ではなくて，だからあとの方が低くなる（というような説明でした）。」
生徒：「オー，すげー」
エネルギーというのは向きがないから，横向きの運動エネルギーとは言わないけれど，なるほど，横向きの速さがあるから，運動エネルギーがあって，位置エネルギーが全部にはならないということね。
MT先生に質問ある人？
I君：「非保存力がなくなるからエネルギーは保存するんじゃないの？」
MT君：「するけど，運動エネルギーもあるから」
（他に一人質問したけど，よく聞き取れず）
オーケー。じゃあ，やってみよう！

というわけで，正解はウです！
MT君がいった意見で完璧ですね。
式で書くと，
はじめ：0＋mgh＋0
あと　：1/2mv²＋mgh’＋0
このときも糸の張力が，つまり非保存力がした仕事は０だから，力学的エネルギーは保存して，
0＋mgh＋0　＝　1/2mv²＋mgh’＋0
で，h＞h’となる。

H君：「これってスキーのジャンプと同じですね！」
そうだね！良いところに気が付いたね！もしだよ，こうやってスキーのジャンプをして，イまで上がったとするね。そしたらどうなる？
生徒：「そのまま落下する」
そうだよね。運動エネルギーが０になっちゃうから，速さが０。で，そのまま落下する。これでは，高梨選手でも危ないね！（笑）
いいねー！身近な例で考えられるってすばらしいね。

M君：「糸の張力がなくなるからイまで上がらないでは，ダメなんですか？」
うーん，正解なんだよね。ただし，力の考え方で理解しようとすると，ここはすごい難しい。例えば，課題７だと，実際に張力は釘にかかると大きくなる。ともかく，直線状の運動ではないから，かなり難しくて，高校２年生で学習する内容です。しかし，エネルギーの考え方で考えると，シンプルでしょ？これがエネルギーなんていう抽象的なものを考えるメリット。力の考え方で理解するのは少し待ってください。でも，よく考えていてあっているよ。

４．まとめ

ということで，中三の物理は終了です。最後に活発な議論ができて，とても嬉しい！感想を書いてプリントを提出してください。そしてテスト頑張ってね！

生徒の感想から：
・みんなの意見がきけてよかった。
・（はじめ）理由はわからなかったが，MT君の説明でわかった。
・MT君の説明で完全にわかった。
・場所によってさまざまなエネルギーがあるから，それぞれの場所について考えればわかりやすかった。
・最後の最後でゴチャゴチャになった。
・答えはあっていたけど，問題の本質はよくわからなかった。
・いろいろな面から考えなければならない問題で，議論して理解できました。とても興味深く勉強になりました。
・こんどは力の視点で是非説明してほしい。
・なんだかすっきりした。納得できてよかった。
・意外にもほとんど飛ばないので驚いた。
・エネルギーの観点で考えるのがとても難しかった（この生徒は考査において，摩擦のある斜面も運動方程式から解いていた）。
・もしイまであがったときに，真下に落ちてしまうという話に「なるほどなー」と思った。
・難しすぎて・・・
・実験を通して問題を理解することができてよかったです。
・実験を通して感覚ではわからないことがわかってよかった。とてもやっていて楽しかった。
・自分の考えがあと一歩至らなかったことに悔しさを感じつつ，もっと分析しないといけないとおもった。
・感覚ではわかるが，言葉で説明できない。
・数式で論理立てて説明するのは向いていないかもしれない。

授業を終えて。。。

・バーチャートの威力の大きさを痛感した。前回のパワポで導入したが，もっと前の問題演習から導入しておくべきであった。
・実はこのクラスは課題７の予想は前回の授業で行っていたために，時間にゆとりがあった。他のクラスではこの課題を２つは時間的に厳しかった。
・課題７の前に「普通の振り子で同じ高さまで行くのはなぜ？」という問いかけは絶対に必要で，力学的エネルギーが保存する，そして，最後の運動エネルギーが０になるから同じ高さ。というところまで行っていないと課題７の議論も厳しくなる。
・これまでの問題演習では，はじめもあとも力学的エネルギーが運動エネルギーか位置エネルギーのどちらかしかない状況ばかり扱っている。そのために，課題８の障壁が大きすぎる。問題演習で2つある状況（例えば自由落下の高さが半分の位置）などを取り上げておくべきであった。

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