剛体のつりあい④（壁に立てかけた棒）

１．導入

前回は剛体のつりあいの問題を解きました。剛体の場合は力がつり合っているだけでは静止せず回転することがある。よって，力だけでなく，力のモーメントもつりあっていなければならない。ということを学習しました。今日はもう一題練習問題を解きたいと思います。

２．壁に立てかけた棒

次の問題をやってみてください。

こんな状況ですよ。

とりあえず，しばらく時間をあげますので，棒に働く力を書いてください。

書けた人は周りの人をカンニングしてごらん。オーケー？正解はこうだね。

※摩擦力を，文中ではfとしてますが，図中ではRと表しています。まちがいです。すみません。

気を付けてほしいのは，垂直抗力と摩擦力は，床が棒を押す力の分力だとということ。抗力があって，それを分解して，床に垂直な分が「垂直抗力」で，床と平行なのが「摩擦力」です。

では次に，(2)をやってごらん。

（巡回しながら）ちなみに，答えは，μ㎎ではありません！
生徒：「まじか！？」
はい，残念！A君，f＝μNと書くときのfって日本語にすると何？
A君：「摩擦力」
それだけでは足りないね。
B君：「静止摩擦力」
まだ足りないね。
A君：「最大静止摩擦力！」
そうなんだよね。「最大」です。何？C君，教えてないって言った？じゃあ，C君。私がプロジェクターを1[N]で押します。静止しています。摩擦力は何[N]ですか？
C君：「1[N]」
2[N]なら？
C君：「2[N]」
3，4，…10[N]を超えたら動き出した。この10[N]を最大静止摩擦力といった。このくだりをやったよね？ C君：「はい，やりました。」
いきなりμNと書くというのは， 1[N]で押しているのに，10[N]の摩擦力がかかっていると言っているようなもの。とにかく静止摩擦力はfと書いておいてください。

少し脱線しましたが，力は書けました。あとは前回の手順に従うだけ。10分あげるからやってごらん。分からない人は立ち歩いてもいいから相談してごらん。

ではいいですか？まずはxy軸を設定して，それぞれの方向で力のつりあいを書く。
x軸方向の力のつりあい：N'－f＝0
y軸方向の力のつりあい：N－㎎＝0

D君：「原点はそこに設定しないといけないんですか？」
なるほど。別にどこでもいいです。いま考えているのは力のつりあいなので，そもそもどこの位置にあるかは意味がないからです。

では，回転軸を設定して，力のモーメントのつりあいの式を書く。力を棒に平行・垂直で分解します。ここでは床との接点を軸とします。これは計算が簡単になるからです。なぜなら，ここを回転軸とすると， Nとfのモーメントは，腕の長さが０だから，０です。つまり，残りの㎎とN'の２つのモーメントだけを考えればよい。例えば重心に回転軸をとると， N'，N，fの３つのモーメントを考えなければならなくなり大変。だから力が多くかかっている点を回転軸にするとよいです。

だから，力のモーメントのつりあいの式は，
㎎cosθ×L/2－N'sinθ×L＝0
となります。

とやりましたが，お疲れ様です。こうやると少し楽になるよ。N'と㎎を少し移動します。

ここに持ってくると，力と腕は垂直であるので，

力のモーメントのつりあいの式は，
㎎×Lcosθ/2－N'×Lsinθ＝0
となります。これが力のモーメントの定義①に基づく計算方法です。先ほどのは定義②。どちらを使ってもいいので，簡単な方を使えばいいよ。

さて，わからない文字はN,f，N'の３つで，式は３つ立っているので，原理的には計算できる。

(2)の段階ではまだ静止摩擦力は最大ではありません。徐々にθを小さくしていき， θ＝θ₀になったときに摩擦力は最大になり，それを超えるとすべって倒れるのです。

さて，ここで追加問題。抗力の向きはどこを向いていますか？

T君：「棒の方向？」
N君：「N'と㎎の作用点の交点」
N君が正解です！素晴らしいですね。前回，剛体が静止しているならば，作用線は１点で交わると学習しました。

３．まとめ

（ほうきを持ってきて）この重心はどこにありますか？
（生徒はバランスをとって）「ここです」
そうだよね。つまり重心とはその点で支えれば回転しない点だということもできます。次回は重心を学習します。でもこれも回転が関係あるので，モーメントが関係しているわけです。

授業を終えて。。。
・最後の抗力の向きは難しいが，我クラスでは１人しかわからなかったのは残念。他のクラスでは数名わかっていたのに！
・生徒は結局「力を書くのが難しい」というところには到達している。それは私も思う。力を書くには，作用反作用，力のつりあいの条件，力のモーメントのつりあいの条件，近接力・遠隔力・・・いろいろなことを考えながら書く必要があり，つまりは，力学を理解するということに他ならない。
・「回転軸はどこでもいいよ」「定義はどちらでもいいよ」という私の発言に，生徒から「自由過ぎるんですよ！」という意見。なるほど。確かに物理の難しさかもしれないと思う。正直な意見だ。パターンがはっきりして，それを当てはめるだけなら簡単だ。しかし自由だからこそ，この難解な自然を記述できるともいえる。簡単にしたい気持ちはわかる。でもこれからの人生

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