剛体のつりあい�B（剛体のつりあい）

１．導入

さて，前回は力のモーメントというのを定義しました。 力のモーメントってどう求めるのだっけ？
A君：「力×腕の長さ」
そうだね。でも，ポイントがあったね。
B君：「力は移動できる」
おー，力は作用線上を移動できる。いいね。でも，なんで移動させたの？ どこに移動させるの？
C君：「垂直になるように？」
そうだね。力でも腕でもどちらを分解してもいいけど， 互いに垂直な分しか回転に意味をなさない。 そこがポイントでした。
今日は問題演習をしていきましょう。

２．剛体のつりあい

はじめに中三の復習をしよう。力のはじめに， 「力を物体にくわえると何が起きるか？」，つまり「力の作用」という ところから学習を始めました。
�@加速度を生じさせる。
�A回転を生じさせる。
�B物体を変形させる。
の３つです。
いままではほぼ�@だけに着目してきました。 （まあ，ばねで�Bは考えたのだけど。） 現実の物体に力が働くとこれら３つが同時に起きるだろうけど， それを考えるのは大変！それでいままでは�@だけを考えていた。
逆に言うと，これまでは「質点」というものを 考えていたということなんだ。質点というのは， 質量はあるけど，大きさはない理想的な物体。 大きさがなければ回転も変形も考えないで済むからです。

しかし，この章では回転も考えようというわけ。 ただ，変形まで考えるのは大変だから， 固くて変形しない理想的な物体を考える。 それを「剛体」といいます。 この剛体が静止するためには「�@加速」だけでなく， 「�A回転」も考えるので， 力がつり合っているだけでは静止せず， 力のモーメントがつりあっていないといけない。

もう少し具体的に説明しよう。
質点に下向きに10[N]，上向きに10[N]がかかっていれば， 質点は静止する。
しかし，次の図のように剛体に下向き10[N]，上向き10[N]が かかっていても静止せず，回転してしまうよね。

だから剛体が静止するには，力だけでなく， 力のモーメントもつりあっていなければならないのです。

３．剛体のつりあいの問題の解き方

次のような手順で考えれば大丈夫です。

ここでのポイントは，静止しているときには 回転軸はどこに決めてもよいということですが， とりあえずあとで説明しましょう。

４．剛体のつりあいの問題演習�@

では，次の問題をやってみてください。

※棒は，”一様な”（＝重心は中心にある）棒だとします。

手順�@「物体に働く力を描く」
ここで間違えると，全部間違えるからね。
うん？「ちょうつがい」って何かって？
そういうと思ってここに用意してあるよ。

「ちょうつがい」はドアにも付いているね。 それで棒を糸で吊っている。では，この棒「に」働く力はどう描ける？ まずは重力。何人か棒の先端に重力が働いているように 重力を書いているけど，棒が自分だとしたら頭だけに重力が かかっていることになるよ！それは違うね。
張力はいいね。
問題はちょうつがいが棒を押す力。 これは難しいけど，正解は，次の図です。

まあ(2)を読めば，ちょうつがいが棒を押す力を分解したもの， つまりN（垂直抗力）とRを書いている人もいます。 それは正解ですが，どちらも「ちょうつがいが棒を押す力」で， それを分解したのがNとRだと考えてください。

O君：「そのちょうつがいが押す力はどちらを向いているのですか？」
おー！ナイスな質問！いいところに目が行きますね。 ただ，それは置いておきましょう。 あとで説明します。

手順�A「xy軸を決め，それぞれの方向の力のつりあいの式を立てる」
とりあえずいつものようにxy軸を設定しておきます。

軸に対して斜めの力は分解します。

そうすれば，それぞれの方向で力のつりあいの式を立てられますね。
x軸方向の力のつりあい：N−Tcos30°＝0
y軸方向の力のつりあい：R＋Tsin30°ーW＝0
ここまではいままでの問題と同じ流れです。

手順�B「回転軸を決め，力のモーメントのつりあいの式を立てる」
回転軸はどこに設定しても構いませんが，とりあえずちょうつがいのところに しておきます。そうすると，Rのモーメントはいくらですか＞
D君：「０」
なぜ？
D君：「距離が０だから」
そうだね，回転軸から作用点までの距離，つまり腕の長さが０なので， Rのモーメントは０。では，Nのモーメントは？
E君：「０」
同じ理由で０だね。
では，重力Wのモーメントは？
F君：「1/2WL」
その通り。力はW，腕の長さは1/2L。たがいに垂直だからそのままかけて1/2WL。 Tのモーメントは？
G君：「Tsin30°×L」
そう！力×腕の長さだけど，たがいに垂直な分しか回転には影響しない。 だからTcos30°の分は考慮せずに計算する。
ただですね，重力は時計回りに回転させる働きで， 張力は反時計回りだよね。

力のモーメントは反時計回りを正とするので，
Aを軸とした力のモーメントのつりあい：Tsin30°×Lー1/2WL＝0
と書くことができます。 当然，反時計回りのモーメントの合計＝時計回りのモーメントの合計　 という式を立ててもOKです。

手順�C「(a)(b)(c)の連立方程式を解く」
与えられているのはW，L。わからないのはR，N，T。 ３つ未知数があって，３つの式が立てられたので基本的には解けるはず。

という流れで問題は解けます。

さて，ここからは付け足しです。
まず，回転軸はどこに決めてもよい。 先ほどは，ちょうつがいを回転軸にしましたが， 棒の中心でも構いません。

これならば，
中心を回転軸とした力のモーメントのつりあい：Tsin30°×1/2L−R×1/2L＝0
という式がたてられますね。先ほどの式の代わりに この式を立てても同じ結果が得られます。 さっき求めたTとRを代入すれば，式は正しいことがわかるでしょ。
WTsin30°×1/2L−1/2W×1/2L＝0

さて，先ほどO君が「ちょうつがいが押す力はどちらを向いているか」 という質問をしてくれました。 計算結果からわかりますよね。そう，30°なんだね。 つまりどこを向いているかな？

結果からいえば，物体が静止していれば， 作用線は１点で交わるのです。 なぜ１点で交わるのかを説明していきますよ。 前々回の結論は「力は作用線上を移動させてもよい」 ということでした。張力と蝶番の力を移動させます。

この2力の合力は上向きです。

その合力と重力がつりあって，棒は静止するというわけです。

では，もし作用線が一点で交わらなかったらどうなるか？

となると，この棒は回転してしまいますね。 ということで，作用点は一点で交わる。 ただし，すべての力が平行だと交わりません。 平行な2力を合成するのはちょっと難しい。 これはプリントを読んでおいてください。

５．てんびんの工夫

前回つりあっている状態から斜め45°に回転させて手を離すと どうなるかという問題を出しました。 多くの人が「回転する」と答えました。 例えば天秤とかつりあうというのは，水平になるときです。 実は「つりあうとき水平になるというのは， 工夫されているからです」。

この段ボールの中心に軸を刺し， 両端の中央に50gずつを取り付けます。 当然つりあいますが，これを45°回転させた状態で 手を放すとどうなるでしょう？

これはつりあいます！

では，段ボールの中心の上側に軸を刺し， 両端の上側に50gずつを取り付けます。 これで斜めにして手を放すとどうなるでしょう？

これは「水平に戻ります！」

さあ，どうしてでしょうか？
これは重心が意味を持っています。 はじめの状況では重心に軸がありますから， 重力のモーメントは０です。 しかし，この状況で斜めにすると，重心が中心からずれるので， 力のモーメントがあり，段ボールを回転させるのです。

このように，「天秤は水平になってつりあうように 設計されているのです！」。

６．まとめ

今日は剛体が静止しているときの問題を解きました。 もう一問練習したいと思います。

授業を終えて。。。
・説明ばかりする授業で，反応もいまいち。 ここら辺が課題です。どうしても入試は避けられない。 問題演習をしないというのも・・・。
・最後の天秤の話も課題にすればよい。 私が勝手に話をしているので生徒は理解できていない。 しかし時間がない。でもやりたい！
しかし，引き算ができないといけないような気がしている。

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