剛体のつりあい⑤（重心）

１．導入

前回は剛体のつりあいの問題を解きました。 力のモーメントは回転させる働きで，大きさのある物体が回転せずに 静止するためには力だけではなく，力のモーメントもつりあっていなければならない。 ということは理解できてきたかと思います。 今日は重心です。ほうきの重心は1点で支えられる場所にあるはずです。 ということはその点を回転軸とした力のモーメントはつりあっているはずです。

２．2物体の重心座標

では，左右で質量が違うバーベルがあったとします。 その重心はどこにありますか？ まあ中心よりは右の方にありそうなことはわかりますね。

いまy軸負の向きに重力が働いているとします。 重心をGとして，その周りの力のモーメントを考えます。 どうやって力のモーメントは求めますか？
A君：「力を分解して…」
それでもいいですよ。でもちょっと面倒です。 力は作用線上を移動させてもその効果は変わらないという 性質を利用してあげる方がよい。 m1gとm2gの作用点が重心と同じ高さに くるようにしてあげると，力と腕は垂直になるので， そのまま掛け算してあげればよい。よって，
m1g×（xG－x1）－m2g×（x2－xG）＝０＜br＞ となります。整理すれば，xGが求まります。

いまy軸負の向きに重力がかかっているとしましたが， どの方向にかかっていても重心は同じですよね。 x軸負の向きにかかっているとして，先ほどと同様な手順を踏むと， 重心のy座標も求まります。

ちなみに，この式は数学で出てくる式に似ていますよね。 そうです。内分です。しかしちょっと違いますね。 2物体m1とm2の重心は， 2物体を結ぶ線分をm2：m1に内分する点です。 つまり逆比で内分していると考えてください。

３．問題演習（曲げた針金の重心）

ここにハンガーを切ってまっすぐにしたものがあります。 1[m]ないけど，1[m]だとしましょう。
この重心はどこにありますか？
B君：「中心，50㎝のところ」
そうですね。ここを指で支えればつりあいます。

では40㎝だけ折り曲げたら，重心はどこにあるでしょうか？

うーん，難しいか。では少し簡単にしましょう。 折り曲げた点を原点として座標を設定します。 それで重心の座標を求めてください。 また，1[m]の質量をm[㎏]にして考えてください。

解答です。

N君：「先生は重心なら1点で支えられるって言ったじゃないですか。 空中にあったら支えられるわけないじゃないですか。」
その通りですね。ただ，こうやって軽いひもを結んで， その点で支えてあげると，ほら！

支えられるわけです。
生徒：「ずるい・・・」
N2君：「でも，その上をもっても支えられるじゃないですか。」
こう？

支えられますね。でもね，重心なら違う方向を向けても つりあうわけです。つまり，横にしても縦にしても その点で支えればつりあうはずです。 先ほどの支え方は横にしたらつりあわないよね。 でも計算で求めた点ならば，縦でも横でもつりあう。 ただ，ひもがどうしてもたるむので， 実際に見せるのはむずかしいですけど…。
ちなみに，先ほどのケースでは支えているところは重心ではないけど， 作用線上に必ず重心があります。

４．課題６（大根の重心）

では，次の課題を考えてみてください。

こういう状況ですよ。ここでカットするとどちらが重いですか？

生徒の意見
ア　どちらも同じ質量…18人
イ　左の方が質量が大きい…17人
ウ　右の方が質量が大きい…1人

迷っていますね，O君。
O君：「えー，同じ以外の理由が見つからないからアです。」
なるほどね。でも怪しく思っているわけだ。他のアの人はどう？ 同じ？つりあっているから同じ質量だということね。
では，ウのH君。
H君：「左はほとんど太さが変わらないから真ん中に重心があって， 右はどんどん細くなるから重心は支えているところに近くなるんじゃないかと。 だから，力のモーメントで考えると， 距離が短い方が質量が大きくないといけないので， 右の方が重い。」
なるほどね。右は確かにどんどん細くなっているね。
ではイの人。
S君：「力のモーメントで考えて，右と左の重心はそれぞれ だいたい真ん中にあるので，右の方が重心が支えているところから遠い。 だから右の質量の方が小さい。」
なるほど。重心はだいたい真ん中にあると。 では，意見を聞いて変える人はいますか？

生徒の意見
ア　どちらも同じ質量…15人
イ　左の方が質量が大きい…20人
ウ　右の方が質量が大きい…1人

ではやってみましょう。
（切って，キッチンばかりで計測すると…
左720g，右680g。）

ということで正解は「イ」です。

大変いい意見がでてきたので良かったです。 まずは力のモーメントの視点で考えられるようになっていればOK。 また形からどちら側に重心があるのか考えられるようになっていればOK。 H君が言った通り，だんだん細くなっていると， 重心は中心よりは左にずれるよね。 でも左の重心よりは外にあるということだね。

N君：「先生，切ったやつを吊るしてみてください。」
あーなるほど。

較べてみようか。

うわー，ほとんど変わらないね。 何をやっていたかわかりますか？ それぞれの重心は吊るしてみればわかる。 その長さを較べると，ほっとんど変わらないね。 でもひもが斜めになっている分だけ 足の部分の方が長い。 だからさ，質量の差もちょっとなんだねー。

５．まとめ

今日は重心というものを学習しました。 これは工業的には非常に重要なものです。 車など回転するものは重心が狂うと非常に危険です。 わざと重心をずらせば携帯などのバイブがつくれます。 さあ，もう一時間まとめの問題を考えていきましょう。

授業を終えて。。。
・大根の問題はもう少し班で考えさせるべきであった。 教室で授業するときには班づくりをする手間を省いてしまう。 そこがいけない。
・授業後に生徒から「大根の問題で何がわかるんですか？」 という質問を受けた。ここから何かがわかるタイプの問題ではない。 力のモーメントの視点で考えられれば十分。
・最後のN君の「吊るしてみてくれ」は鋭い！

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