物理基礎の力学21（ばね振り子と相対速度）

１．導入

前回は力学的エネルギー保存の法則の問題を解きました。 振り子の場合は，張力と重力が働いている。張力は非保存力だけど， 常に進行方向と垂直だから仕事は０。つまり， 非保存力のした仕事は０だから，力学的エネルギーは変化しない。 という流れでした。
今日はばねで振り子を鉛直方向に運動させてみましょう。 このとき，おもりに働くのは重力と弾性力だけです。 つまり，非保存力が働いていないので，当然非保存力がした仕事は０です。 よって，この場合にも力学的エネルギー保存の法則が成り立ちます。

２．問題演習（鉛直ばね振り子）

では，次の問題をやってみてください。

わからなかったら周りと相談していいよ。

ちょっと厳しいようなので，まずは現象をみてみようね。
※ばね振り子を鉛直方向に振動させて見せました。 あとの動画を参照してください。

ということで，最下点での速さはいくらですか？
生徒：「０です」
そうだね。｛速さが０ということは， 力がつり合っており，kx＝mg より，x＝mg/k です。｝
これは間違いです！
どこが間違っていますか？
「速さが０」＝「力がつり合っている」ではありません！
「力がつり合っている」＝「速さが変化しない」です！
いま現象を見たとおり，最下点では一瞬速度が０になりますが， すぐに上に上昇します。つまり，速さが変化しています。 よって，力はつり合っていません。

ということは，力のつり合いで解くことはできません。 まあ流れを考えれば当然ですが， 力学的エネルギー保存の法則を使ってあげる。 (1)の解答です。

さて，(2)ですが，これは難しいです。 時間をあげますので頑張ってみてください。

おっと！このクラスでは2人ができました。 素晴らしい！2人のやり方をやってみましょう。
まず，速さが最大になる位置の最下点からの高さがわからないので， それをxとします。そのときの速さをvとします。

いま何をやっているのかわかる？
生徒：「もしかして平方完成ですか？」
そうだね，なんで「もしかして」なの？
生徒：「そんな数学のものを物理でも使うのかと思うとうんざりします」
まあまあそう言わないで。数学の実用例を紹介されていると思ってください。

というわけで，速さが最大になる位置は x=mg/k です。
これはどこかで見たことない？まず，(1)の答えの半分。 そして，(1)で間違えて出した人がいるけど， 力がつりあっている位置なのです。

では，なぜ力がつりあっている位置で， 速さが最大になるのでしょうか？
少し時間をあげますので考えてみてください。 ポイントは合力です。

中央の図はつり合いの位置のおもりです。 左はそのちょっと前，右はちょっと後です。 おもりに働く重力はいつでも同じmg。 ばねの弾性力は伸びが大きいほど大きいので， 右にほど大きい。 そして，中央のつり合いの位置では力はつり合っているのだから， 合力は０。ここまでいいですか？

そうすると，左の合力は下向きになる。右の合力は上向きになる。 ということがわかります。
合力が下向きならば「加速する」，上向きならばここでは「減速する」。
ということは，速さが最大になるのはつり合いの位置だ ということがわかります。

※時間と生徒の反応によって ここはやり方を選びながら行いました。 できないと思ったら，とりあえず中央で速さが最大になることを伝え， 答えを求めさせる。それから理由を考えました。

３．相対速度

ここまででエネルギーの範囲は終了です。 しかし2学期に「相対速度」と「浮力」をやり残しています。 今日残りで「相対速度」を学習して， 次回「浮力」をやって終わりにします。

ところで，朝電車で寝ていて乗り過ごしたりするよね？ （「しない」という声は無視） 眼を開けると地下鉄のはずなのになぜか明るい（笑）。 「あー乗り過ごした！」って思うわけです。 さらに，目を覚まして隣りに電車があって， 「あれ？隣の電車が動いている？自分が動いている？」 って迷うときがあるよね。 それが相対速度です（謎）。 では，次の問題の(1)(2)を解いてください。

おー！みんなわかっているじゃない。
(1)は，左向き80[m/s]
(2)は，右向き120[m/s]です。

しかし，どうやって求めたの？
何となく求めた人もいるだろうけど， 両方とも同じ式で求められるよ。
生徒：「車の速度を引く！」
おー，正解です。車から見ているので車の速度を引いてあげる。 実際それで計算してみよう。
(1)は，右向きを正と仮定して計算すると，
20[m/s]−100[m/s]＝−80[m/s]
右向きを正としたので，マイナスは左向き。よって，左向き80[m/s]。
(2)も同様に，
100[m/s]−(−20[m/s])＝120[m/s]
ここで，車は左向きなので，−20[m/s]で代入しなければならないね。

まとめておきましょう。 ポイントは「見ているものを引く」ってことです。
つまり，
Aから見たBの相対速度は，
v_A→B＝v_B−v_B
となります。ただこの式は正確にはベクトルの式です（htmlでベクトル記号はどう書けばよい？）。 数学でベクトルを学習しましたね。 下の図のように，ベクトルaとベクトルbがあるとき，ベクトルbーベクトルaを どのように図示できますか？

そうですね。同じように，v_A→Bは，上図のようになります。 （※速度ベクトルは自由に移動できるベクトルであるので， ベクトルの始点を合わせることがポイント！） つまり，相対速度は，視線の向きである！ となります。Aの先端からBの先端を見たベクトルになる。 先ほどの(1)(2)に適用すると，次のようになる。

ここまでをまとめると次のようになります。

ここまでを踏まえて，(3)をやってみてください。 答えはわかりますね。

相対速度は以上です。ただ１つ聞いておきたいのですが， 雨が降っているときに電車に乗ると， 窓に雨粒がつく。斜めに雨粒が流れた跡がついていて， 「あー，風が強いなー」って思いますか？ そうではないよね（まあ，そういう風の強い日もあるかもしれないけど）。 雨粒が流れた跡が，電車から見た雨の相対速度の向きになるわけです。

４．まとめ

今日は急ぎ足でしたが，相対速度まで来ました。 次回浮力を学習して物理基礎の力学は終わりです。

授業を終えて。。。
・中心が速度最大の位置と伝えても計算ができるのは少ない。 学年で5人程度がヒントなしに平方完成をした。 平方完成で楽しめる生徒はいるけど， ほとんどは「何をやっているの？」という状態。
・もう少し丁寧に追っていかないと，運動方程式から中心で速度最大を 理解することはできないだろう。 （2年の単振動できちんと理解できればいいかと思ってしまった）
・相対速度はすんなりいったが， 「なぜ相対速度を考えるのか」という目的意識を与えていないからか， 反応はいまいち。それでも身近な例えを話した方が食いつきはよかった。

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