物理基礎の力学N(コンピュータ計測:空気抵抗)

1.導入

前回は,おもりと台車の運動を考えました。 今日も運動方程式ですが,いままでは力が一定でしたが, 今日は力が変化する現象を考えます。 空気抵抗力は速さに比例します。 このときどういう運動になるか考えていきましょう。
※物体が小さいと空気抵抗力は速さに比例しますが, 物体が大きくなると速さの2乗に比例します。 雨であれば,ぴちゃぴちゃ降る雨では速さの2乗に比例します。 速さに比例するのは霧雨程度までだと考えられます。

2.演示実験「アルミホイルの落下」

まず,その前段階として,普通のボールが落下するとき, v-tグラフはどうなりますか?予想のグラフに点線で書いてみてください。
※「ボールの空気抵抗はないんですか?」 という質問には,「ボールの場合,空気抵抗力の影響が少ないので, いまは考えなくていいと答えました。

※ボールとアルミホイルの落下です。 少しずれている!

T君:「放物線」
こういう感じね。他に意見はありますか?
N君:「直線」
こうですか?(x軸に平行に描く)
N君:「正比例です。比例」
こうですね。みんなはどっちですか?放物線の人?
(5名くらいが手を挙げる)
v-tグラフの傾きってなんだっけ?
T君:「あっ!やっぱり正比例に変えます」
なんで?
T君:「v-tグラフの傾きは加速度で, 重力加速度は9.8だから。」
加速度が一定だから傾きも一定だということね。測定してみましょう。

正比例のグラフになるね。等加速度運動なら位置と時間のグラフ,x-tグラフは 放物線はなる。v-tグラフの傾きは加速度 ということは押さえておきましょう。

間違っていた人も,予想のグラフに点線で正比例の線 を入れておいてください。次との比較で使います。

はい。それでは本番です。ここにお弁当のおかずを 入れるアルミホイルがあります。これを静かに落とすと, v-tグラフはどうなりますか?先ほどのボールとの違いを 明確にして答えてください。
一度やってみた方がいい?じゃあ,落としてみるね。(上の動画参照)

では,予想できたでしょうか?4パターンあったので, どれかに手を挙げてください。

生徒の予想:

あれ?Y君は赤じゃなかったっけ?
Y君:「やっぱり緑に変えました。」
何で変えたの?みんなが他のに手を挙げてるから?
Y君:「はい(笑)」
「はい」じゃないよ!説明してごらん。
Y君:「さっき見たら同じ速さで落ちているように見えたけど, はじめの速さは0だと思って。」
なるほど。そうだね。はじめは速さ0だね。OK。 では,T君は黄色だけど。
T君:「緑に変えます。」
あら,なんで。
T君:「なんも考えずに黄色で書いたけど, ボールより速くなることはないなと思って。」
オーケー。まあそうだな。ボールより速くなることはないね。
では2つに絞られた。オレンジは?
O君:「ボールよりは遅いけど,だんだん速くなっていくから。」
なるほどね。どこまでも速くなる?
O君:「まあなります。ゆっくり。重力はかかっているし。」
オーケー。では,緑の人は?
I君:「はじめはゼロで,だんだん速くなって,ガーッと。」
だれか翻訳してくれる?
N君:「空気抵抗があるので,それはマイナスの方向に加速させるんですよ。 で,速くなるとそれが大きくなってだんだん遅くなる。」
遅くなる?遅くなるってだんだん遅くなって空中で浮遊する?
N君:「いや,だんだん速くなりにくくなる。」
加速度が小さくなるってことだね。合力はどうなっているの? N君:「はじめ重力があるけど,空気抵抗が大きくなって合力は小さくなる」
なるほど。他に意見はある?オレンジの人はどう?
O2君:「間違っているかもしれないけど,計算したんですよ。 空気抵抗がないと,1秒後の速さは9.8で空気抵抗が2.0, 2秒後の速さ19.6で空気抵抗が4.0」
こういうこと?
O2君:「そうですそうです。でも単位が違うからなんでもありません。」
数値で考えるのはとてもいい考えだね。 でもこれで,ボールよりは遅いけど,正比例のグラフになると予想したわけね。

では,時間も時間なのでやってみましょう。 グラフはきたなくなるけど勘弁して。

まあ,緑が正解です! 自分でもう一度理由を書いてみてください。

理解できたかな?これも合力に着目する必要があって, はじめは速さ0だから空気抵抗もない。 重力だけだ。だから加速度はgになる。 ってことは,はじめの傾きはボールと同じ。
しかし,動き出すと,空気抵抗が生じるから,合力ははじめよりも小さくなる。 そうすると,加速度も小さくなるので傾きも小さくなる。 もっと速くなるともっと加速度は小さくなるので, 傾きもどんどん平らになっていく。
最終的には重力と空気抵抗力は同じになって, 合力0.つまり加速度0。止まるわけではないよ。 動いていて加速度0ならば,等速直線運動になるってこと。 緑が正解です。

Y君:「じゃあ,ボールのときも曲がるんじゃないですか?」
そうですね。その通り。運動方程式を考えてみよう。 ボールには重力が働いていてr。空気抵抗力は速さに比例するから, 比例定数をkと置くと,空気抵抗力の大きさはkvと書けます。 そうすると,速さvのときの運動方程式は,
ma=r−kv
と書ける。両辺をmで割ると,
a=g−kv/m
となります。この式を見ても,はじめ速さ0のときは加速度gで, 次第に速くなるとaはgよりも小さくなっていくことがわかるね。 それで,ボールなんだけど,アルミよりはかなり質量が大きいよね。 だからkv/mが小さくなって,空気抵抗力kvの影響が小さくなっているんだよ。 ただ,どんどん速くなればいずれボールも等速直線運動になります。 その速さを終端速度といいます。

3.まとめ

今日は空気抵抗力のある場合を考えました。 次回問題を解いて,運動方程式は終わりです。 先ほどのプリントを書いて提出して教室に戻ってください。

授業を終えて。。。
・数値を当てはめて考えたのは素晴らしい!間違ってはいたけど, そういうことをしようとすることはとても大事!
・忘れているので,はじめに「v-tグラフの傾きは加速度」を押さえておく。
・ここで,運動方程式を書いてはいるものの,次の授業では活かせていない。 書かせる欄をつくらないときちんと書かないというものが多い。
・思ったよりも加速し続けるという意見が多い。ただ速度と加速度の違いを わかっていないのが原因かもしれない。授業中にも「速度が遅くなる」 という表現があった。
・2台の台車よりも簡単だろうと思っていたが, 生徒はこちらのが難しいという感想が多かった。 やはり台車よりも後の方がよいのか?
・「なぜ空気抵抗は速さに比例するのか」という疑問を書く生徒もいた。 速く走ったらそれだけ空気抵抗を受けていると思わない? といったら納得してくれた生徒もいた。 なぜ比例なのかということは説明できない。

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