ケプラーの法則�B（第一宇宙速度とは？万有引力の位置エネルギー）

１．導入

前回は万有引力というものを学習しました。 今日は第一宇宙速度というものを考えます。

２．第一宇宙速度

さて，ここにボールがありますが，まあ空気抵抗がないとしてください。 ボールを投げると，そこに落ちます。 もっと速く投げると，もう少し遠くにいきます。 もっとおもいっきり投げると地平線の先に落ちます。 こうやってどんどん強くしていくと･･･

一人キャッチボールができます！ これができると，そのボールはずっと回り続けます。これが人工衛星です。
このように，地表すれすれを人工衛星として存在するための速さを「第一宇宙速度」といいます。

ただし，一人キャッチボールをするときには注意してください。 投げると，84分後に，秒速7.9kmというものすごい速さで戻ってきます。

３．静止衛星

静止衛星というのは，赤道上空で周回している， 周期が地球の自転と同じで24時間のものをいいます。 そのため，赤道上の同じ地点の上空にいつもいます。 静止衛星はその特徴を生かして気象衛星やGPS衛星として利用されます。

問題を解いてみましょう。

解答です。

４．万有引力の位置エネルギー

まず式から与えてしまいます。
（導出は少し難しいです。位置エネルギーの定義を知っておくと便利です。）

ここで、万有引力の位置エネルギーのマイナスに抵抗感があると思います。 しかし、重力の位置エネルギーの基準はどこにとっても良かったことを思い出してください。 例えば、地面を基準にしたときに６[m]の高さにある物体の重力の位置エネルギーは、mg×６[m]です。 しかし、１０[m]の高さのビルの屋上を基準にすると、その物体の重力の位置エネルギーはmg×(−４)[m]となります。 結局、二つの位置エネルギーを比べ、その「差」しか意味を持たないため、マイナスが出ても構わないのです。 万有引力の位置エネルギーは式を簡単にするために、無限遠を基準に取りました。無限遠は一番エネルギーが大きいので、 式のなかにマイナスが出てしまいます。

また、この式から重力の位置エネルギーを出してみましょう。

ここで大切なことは、「mghというのは、地表付近でしか使えない！」ということです。
人工衛星や惑星を扱う問題ではmghではなく、万有引力の位置エネルギーを使わなければなりません。

４．まとめ

今日は第一宇宙速度と万有引力の位置エネルギーを求めました。 人工衛生は，高さによって速さや周期が決まります。 国際宇宙ステーションは地表から４００ｋｍの高さですので， 第一宇宙速度に近く１周９０分程度。 目視が可能で，JAXAのホームページに観測できる時間がのっていますので， 一度見てみてください。

授業を終えて。。。
第一宇宙速度は前回の授業でもいい。問題２を省いて問題にしてもよい。

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