ケプラーの法則�A（万有引力の導出）

１．導入

前回はケプラーの法則を紹介しました。 しかし，円運動のところで学習しましたが， 物体が回転運動（つまり速さの向きが変わる！）をするためには， なにかしらの力が必要です。

その力は「万有引力」です。
今日はケプラーの法則から万有引力を導出し，重力を考えます。

２．万有引力の法則

万有引力の法則は，質量があるどんな２つの物体の間にも引力が働くというものです。 それぞれの質量に比例し，距離の２乗に反比例します。 嫌だと言おうが何と言おうが，君と僕の間には引力があるのです。君と君との間にもある。 ただ日常生活でそれを感じないのは100kgの人と100kgの人が1m離れていたとしたら， F=6.7×10⁻⁷[N]≒6.7×10⁻⁶[kg重] という小さい力しか働かないからです。 これは万有引力定数が非常に小さいためですが， 惑星など大きな質量を持った物体になると効いてくる。

ではケプラーの法則を用いて，万有引力の法則を証明してみましょう。
ただし，本来は楕円軌道ですが，楕円になると数学的にとても難しくなるので 円運動していると仮定します。

このように（本当は楕円だけど･･･）ニュートンは万有引力の法則を導いたのです。 「りんごが落ちるのをみて･･･」というのは逸話でしょう。 ケプラーの法則から考えて考えて導いたのでしょう。

３．問題演習（静止衛星の軌道）

静止衛星の問題を解きました。

３．重力

まず，重力というのは「ほぼ」万有引力のことです。 「ほぼ」というのは，少し地球の自転の遠心力の影響があるためです。

ですので，赤道にいくと体重が減ります。 ただし，ボクサーが体重を測るような天秤型のものではだめです(なぜだかわかる？)。 北極でつくられたばねでできている体重計ならOK。ちょっとです。
ここで，地表付近では， 重力mgは，地球の半径R，地球の質量M，万有引力定数Gを 用いて表すことができます。しかし，注意が必要で， 地表から離れた物体に働く重力は， 2物体間の距離は地球の半径Rと考えてはいけなくなり，mgと書くことはできません！ これまで，重力は高さによらず一定であると教えてきましたが， それは「地表付近で」という前提条件のもとに成り立ちます。 よって人工衛星など高いところにある物体には万有引力で考えなければなりません。

４．まとめ

今日は万有引力の法則を導きました。 ニュートンのすごいところは，惑星の話であるケプラーの法則から 地球上のことでも成り立つ法則を導いたことです。 天動説というと「地球が中心にある」ことばかりが強調されますが， むしろ天上界と地上界とをわける二元論がポイントです。 天動説では，土・水・空気・火の４元素からできており， 石が落ちるのは石が土の元素を多く含んでいるので地面に戻ろうとする， 煙が上昇するのは煙が火や空気の元素を多く含んでいるから上に行くというように， 答ありきの目的論的な説明になります。 そして天上界では地上界とは違った法則が支配していると考えます。 このような説明は自然を定量的に記述しようとする土壌ではありません。 そうしたことがコペルニクスにはじまりニュートンに至る過程で解消されたことが， その後の科学の進展を促す土壌となったのでしょう。
　ですので，ニュートンの万有引力のすごいところは，地球上の物体同士でも，惑星でも同じ法則が当てはまるということで， 「万有」という言葉が表している意味だと思います。

授業を終えて。。。
静止衛星の問題がつまらない。

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