等加速度運動D(等加速度運動の公式)

1.導入

前回等加速度運動のグラフを予想してもらい実験をしました。 そのなかで,等加速度であれば,v-tグラフは1次関数, x-tグラフは2次関数になることはわかったと思います。
今日はまず練習問題を解いて,等加速度運動を定式化していくことが目標です。

2.v-tグラフの練習問題

まずは例題をどうぞ。

解答です。

3.等加速度運動の公式

一般的に加速度がaで一定であったとします。一応a>0にしておきます。 すると,a-tグラフは横軸と平行になります。すると, v-tグラフは右肩上がりの1次関数になりますが, t=0での速度を「初速度」といい,v0で表します。
つまり,切片がv0で,傾きがaなので, ある時刻tの速度vは,v=v0+atで書けます。 これが等加速度運動の公式@です。

そして,「v-tグラフの面積=変位」でしたので, この面積を考えれば変位xを表せます。 下の長方形の部分はv0tですね。上の三角形の部分は, 底辺がt,高さがv-v0ですが,公式@を変形すればatとも書けますので, ある時刻tの変位xは,x=v0t+1/2at2で書けます。 これが等加速度運動の公式Aです。

公式Bは公式@とAからtを消去したものです。 文字計算に慣れるために3分あげますので導いてください。 最後はv2−v02=・・・という形になります。

・・・

ということで,v2−v02=2axです。 これが等加速度運動の公式Bです。

以上の3式が等加速度運動の公式です。@式とA式からB式を導いたので, これら3つは独立ではありません。@とAだけで十分ですが, 時間tが与えられていないとき,B式があると計算が楽になりますので, 3つとも覚えてしまってください。

しかし,人間は忘れることもあります。導出できることも重要ですが, 「両辺の単位を考えることでミスを減らす」が大切。
速度v,v0は[m/s],加速度aは[m/s2],変位xは[m],時間tは[s]であることを用いて,
@式では,両辺の単位が[m/s]になっている。
A式では,両辺の単位が[m]になっている。
B式では,両辺の単位が[m2/s2]になっている。
このことを必ず確認してください。もしくは単位も一緒に計算するとよいでしょう。

4.まとめ

今日は等加速度運動の公式を導出しました。覚えなくてもいいのですが, 手間なので覚えてしまってください。次回からこの式を使った練習問題を行っていきます。

授業を終えて。。。
1つのクラスでは,数学に強く課題3,4のときにも微積の話が生徒から出ていたので, 微積から公式を導出した。しかし数学よりも文字が多くそこで戸惑っているようでした。 そのあと簡単にv-tグラフの面積からの導出もしておいた。 式を覚えるのには役に立つのではないかと思う。

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