円運動24年度�C（鉛直面内の円運動�A−糸による運動）

１．導入

前回はジェットコースターを学習しました。 今日は糸でボールを回します。

２．円すい振り子

このようにボールをぐるぐる回します（実際にやる）。このときの周期はいくらでしょう？ 何が関係ありますかね？糸の長さと角度が関係してきます。

周期を求めるには，�@まず力を書いて，�A加速度を書いて，�B運動方程式or力のつり合いの式を書き， �C角振動数を求め，�D周期を求めます。

�@力の記述
まずは重力，そしておもりに触れているのは糸だけなので張力。
�A加速度の記述
まず向きは中心向きですね！大きさは半径をｒとすると，ｒω^２と書けます。
ここで半径はいくらですか？ｒ＝Lsinθ　になります。
�B運動方程式と力のつり合いの式を立てる
この運動をみると水平面を等速円運動していますので，水平方向は運動方程式をたてます。 ただし，張力が加速度に対して斜めなので，張力を分解します。 水平方向はTsinθなので，水平方向の運動方程式は
ma＝Tsinθ
鉛直方向に関しては動いていないので，力はつり合っています。
Tcosθ＝mg
となります。
�C角振動数を求める
ここで，a＝ｒω^２であり，ｒ＝Lsinθなので，
a＝Lω^２sinθ
となり，運動方程式に代入すると，
mLω^２sinθ
＝Tsinθ
ここで，力のつり合いの式より，T＝mg/cosθなので，これを代入すると，
mLω^２sinθ
＝mgtanθ
これより，ω＝√g/Lcosθ　と求まります。
�D周期を求める
T＝２π/ωであるので，
T＝２π√Lcosθ/g
と求まります。

このように，Lが長くなると周期は長くなり，θが大きくなると周期は短くなります。

３．糸による鉛直面内の円運動

次は，糸でおもりを鉛直方向に円運動させます。 このとき１回転する初速度はいくらでしょうか？

力学的エネルギー保存の法則を考えると， 初速度がｖ＝√４ｇRよりも大きければ，最高点で速度を持つことになりますが， それが条件で良いでしょうか？

糸で回して1回転するというのは， 糸の張力が常に０以上である！というのが条件になります。 これも前回と同様，速さが０以上という条件よりも強い条件です。

何がポイントになっているかというと，
「軌道から外れる」＝「垂直抗力が０になる」
であり，「軌道から外れる」≠「速さが０になる」なのです。
では速さは全く関係ないかというと，そうではなく，間接的に関係しています。 ジョットコースターに乗っている非慣性系の立場から考えれば， 遠心力が働きます。遠心力はmv²/rなので， 速さが大きければ遠心力も大きくなり，その分だけ垂直抗力も大きくなる。 よって速さも関係はありますが，速さが０が条件ではないのです！

２．鉛直面内の円運動

では，実際に問題を解きながら説明しましょう。

（１）はいいとして，まず（２）と（３）です。
水平面上を運動しているときは，重力と垂直抗力がつり合っています(2)。
しかし，円軌道に入るということは， 上向きの速さが０の状態から上向きの速度がある状態に変わります。 ということは，鉛直方向に力はつり合っておらず， 重力より垂直抗力が大きくないと上に動くはずがありません。 よって，点Bを過ぎる瞬間に垂直抗力が大きくなるのです。

（４）を解くと，垂直抗力がθの関数として表されます。 これより，θ＝180°（つまり最高点）で垂直抗力は一番小さくなることがわかります。 ですので，一周するには最高点で垂直抗力が０以上であればよいのです。 （ちなみにN＝０で可能なのかというと可能です。 その瞬間垂直抗力が０になっても「慣性」で水平方向には進みます。 するとすぐにレールとぶつかって垂直抗力が生まれるので，ぎりぎり大丈夫。）
結果（５）のように，はじめの高さｈが2.5R以上であれば1回転するとわかります。

※（３）〜（５）は一緒に円運動する非慣性系に立って， 力のつり合いから求めることができます。 ただし，この運動は「等速」円運動ではなくなります。 なぜなら，重力の接線方向の成分が物体を減速させるからです。 つまり，加速度は接線方向にも存在してます。 それをa_θとすると，接線方向の運動方程式はma_θ＝−mgsinθとなります。 （この方程式はθが時間に依存しているため解くのは大学生レベルになります。）
それであっても，中心向きの加速度はa_r＝v²/rでOKです。 （このｖも時間に依存するから，それは力学的エネルギー保存から求める）。
ただし，何が言いたいかというと，一緒に円運動する非慣性系からみると， 慣性力は外向きに遠心力のmv²/rだけではなく， 接線方向にma_θもあるわけです。
問題集などでも，非慣性系で考えて，遠心力だけ書いている場合がありますが， それは中途半端です（どんな座標系，どんな立場の観測者？）。
でも，力のつり合いを考えた方がわかりやすい面もあるので， 中心方向に関して力のつり合いは，N＝mgcosθ＋mv²/rと書いて進めても構いませんが， 接線方向のことは置いておいているということは頭のどこかで思っていてください。

４．まとめ

今日は鉛直面内の円運動を学習しました。 これまでの知識を総動員して理解してください。 あともう２問を次回解きます。

授業を終えて。。。
まあまあ理解しているかな。ただ，自分でやるとなるとできないのかもしれない。 計算の難しさもあるし。頑張って演習問題をやってみよう！
※テストを終えて･･･理解していると思ったらできなかった!時間のかけ方が足りなかった。 急ぎすぎで授業をくみすぎている。反省。

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