円運動24年度②（速度・加速度・向心力の大きさ）

１．導入

前回，円運動は加速度運動で，加速度は中心向きであり，力を中心向きに働かせる必要があると説明しました。今日はそれらを定式化していきます。

２．速度・加速度・向心力の大きさ

・角速度ωの定義

まず角速度という量を考えます。「角速度は，1秒あたり何ラジアン回転するか」です。ですので，単位は[rad/s]（ラジアン・パー・セカンド）。

※等速円運動では角速度が一定ですので，微分ではなく，進んだ角度を時間で割ってあげれば求められます。
※２π[rad]＝360°＝1回転

いま書いたように，1回転は２πなので，角速度は２πを「周期」で割って求められます。また「回転数ｎは，1秒間に何回転するか」ですので，角速度ω＝２πｎ　になることは簡単に理解できますね。（ここら辺の公式は忘れても，考えて出せるように！）

・速さｖの定義

ポイントは，「1回転するのに（円周２πｒ進むのに），T秒かかる」です。これからｖ＝２πｒ/T　になることは理解できる。
そして先程の公式からω＝２π/T　であるので，ｖ＝ｒω　も求まります（こちらの式のが適応範囲が広い）。
単位があっていることも確認してください。

ちなみに，角度がラジアンであれば，弧の長さはｒθと書けます（1回転の弧は円周　ｒ×２π＝２πｒ）。速さとは1秒間に進む距離ですので，1秒間あたりの弧の長さである。 ωは1秒間に進む角度なので，ｒωが速さになります。

・中心方向の加速度aの定義

ここで，「中心方向の」とあえて付けたのは，等速円運動であれば加速度は中心向きしかないけれど，速度が変化する円運動では中心向きの加速度に加えて，接線方向の加速度も発生しています。その場合でも中心方向の加速度はここで考えるものと同じでよいので，そのように付けました。

角速度・速さは考えれば出ましたが，加速度はちょっと難しい。ポイントは，1秒間あたりの速度ベクトルの変化が加速度であること。微小時間Δｔの間ではωΔｔ[rad]回転します。ｔ＝０秒のときもｔ＝Δｔのときも速度は接線方向です。そして，Δｔ秒のときの速度ベクトルをｔ＝０のときの速度ベクトルとあわせる（ここがちょっとわかりずらい）。そして，速度の変化はその弦の長さですので，加速度はその弦の長さをΔｔで割ってあげればよい。ここで，Δｔが微小であるなら，角度が小さくなり，弦の長さ≒弧の長さと近似できます。弧の長さはΔｖ＝ｖ×ωΔｔです。よって，加速度a＝Δｖ/Δｔ＝ｖω　となる。

実際には，ωかｖのどちらかがわかっているケースが多いので，ａ＝ｖωよりも，ω＝ｖ/ｒを使って変形した， a＝ｒω²やa＝ｖ²/ｒ　を使うことが多い。

ちなみに，Δｔが微小であれば，角度が小さくなり，速度変化は中心向き，つまり加速度の向きが中心向きになるのもわかります。

※角速度や速度は自分で考えれば求められますが，加速度は忘れたときに自分で導くのは難しい。そのときには単位に着目して単位があうように考えることで，式を忘れたときに導くヒントになります。

・向心力の定義

加速度がわかったので，運動方程式ma=Fより，円運動させるためには，中心向きにｍｒω²もしくはｍｖ²/ｒを働かせなければならない。この力を「向心力」といいます。

ここで注意したいのが，「向心力という新しい力があるわけではない」こと。円運動している物体に働く力を書くときに，張力しか働いていないのに，「張力と，円運動しているから向心力が働いて･･･」と向心力という力を書く生徒がいます。そうではない。張力が円運動させていて，その力のことを向心力というのです！

・遠心力の定義

遠心力とは，円運動している観測者（非慣性系）から見たときの慣性力のことです。

等速円運動の慣性力は中心向きなので，遠心力はその反対で外に向きです。そして，外から見ているときに遠心力を加えてはいけません。あくまで車に乗っている人から見て外に加えるものです。

３．円運動の成分表示

さて，先ほど加速度は幾何学的に導きましたが，ちょっと難しい。数学的な知識（三角関数の微分や内積）がわかっている人なら，次のように導く方がわかりやすいでしょう。

位置ベクトルを半径ｒと角θの関数として表してあげます。位置を時間微分すれば速度，速度を時間微分すれば加速度が導けます。そしてそれぞれの大きさを求めれば，速さと加速度の大きさを導くことができます。
さらに，位置ベクトルと速度ベクトルの内積が０であることから，「速度は接線方向であること」を導けるし，加速ベクトルが位置ベクトルのマイナスになることから，「加速度は中心向きであること」導けます。

※代入するだけの演習問題を1題解きました。

４．まとめ

今日は速度や加速度の大きさを導きました。これらを「公式」と丸暗記するのではなく，自分で導けるものと暗記しておいた方がよいものにわけて考えるとよい。忘れたときは単位をヒントに思い出せるようにしておきましょう。

授業を終えて。。。
やはり加速度の幾何学的な導出は理解しにくい。ただし，成分表示から求めることは非常にきれいであるが，物理的な理解につながらない。そこまで数学を理解しているわけではないので。

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