円運動24年度�B（鉛直面内の円運動）

１．導入

前回は円運動に関わる物理量を定義しました。 今日は等速ではない円運動という発展的なところに進みます。

２．半径の2倍の高さから落としたらジェットコースターは一周できるか？

今日はジェットコースター！を考えていきます。
「図のようなジェットコースターがあったとします。
摩擦がないとして、静かにレールにコースターを置いたとしてら･･･
２択！最高点と同じ高さから落としたときに， １周できるかできないか？」

力学的エネルギーの保存の法則を考えれば，一周できそうですよね。 でも「答えは、最高点と同じ高さでは一周できません！」

なぜでしょうか？確かに力学的エネルギー保存の法則を考えて， 最高点にいけたとしたら，最高点で速さは０。 少しでも上なら最高点で速度があるわけで，それなら回れそうです。 しかし，回っていって最高点で速度が０になり， ポトッと自由落下するような状況はあり得ません。 その前に軌道から外れてしまうのです。

何がポイントになっているかというと，
「軌道から外れる」＝「垂直抗力が０になる」
であり，「軌道から外れる」≠「速さが０になる」なのです。
では速さは全く関係ないかというと，そうではなく，間接的に関係しています。 ジョットコースターに乗っている非慣性系の立場から考えれば， 遠心力が働きます。遠心力はmv²/rなので， 速さが大きければ遠心力も大きくなり，その分だけ垂直抗力も大きくなる。 よって速さも関係はありますが，速さが０が条件ではないのです！

２．鉛直面内の円運動

では，実際に問題を解きながら説明しましょう。

（１）はいいとして，まず（２）と（３）です。
水平面上を運動しているときは，重力と垂直抗力がつり合っています(2)。
しかし，円軌道に入るということは， 上向きの速さが０の状態から上向きの速度がある状態に変わります。 ということは，鉛直方向に力はつり合っておらず， 重力より垂直抗力が大きくないと上に動くはずがありません。 よって，点Bを過ぎる瞬間に垂直抗力が大きくなるのです。

（４）を解くと，垂直抗力がθの関数として表されます。 これより，θ＝180°（つまり最高点）で垂直抗力は一番小さくなることがわかります。 ですので，一周するには最高点で垂直抗力が０以上であればよいのです。 （ちなみにN＝０で可能なのかというと可能です。 その瞬間垂直抗力が０になっても「慣性」で水平方向には進みます。 するとすぐにレールとぶつかって垂直抗力が生まれるので，ぎりぎり大丈夫。）
結果（５）のように，はじめの高さｈが2.5R以上であれば1回転するとわかります。

※（３）〜（５）は一緒に円運動する非慣性系に立って， 力のつり合いから求めることができます。 ただし，この運動は「等速」円運動ではなくなります。 なぜなら，重力の接線方向の成分が物体を減速させるからです。 つまり，加速度は接線方向にも存在してます。 それをa_θとすると，接線方向の運動方程式はma_θ＝−mgsinθとなります。 （この方程式はθが時間に依存しているため解くのは大学生レベルになります。）
それであっても，中心向きの加速度はa_r＝v²/rでOKです。 （このｖも時間に依存するから，それは力学的エネルギー保存から求める）。
ただし，何が言いたいかというと，一緒に円運動する非慣性系からみると， 慣性力は外向きに遠心力のmv²/rだけではなく， 接線方向にma_θもあるわけです。
問題集などでも，非慣性系で考えて，遠心力だけ書いている場合がありますが， それは中途半端です（どんな座標系，どんな立場の観測者？）。
でも，力のつり合いを考えた方がわかりやすい面もあるので， 中心方向に関して力のつり合いは，N＝mgcosθ＋mv²/rと書いて進めても構いませんが， 接線方向のことは置いておいているということは頭のどこかで思っていてください。

４．まとめ

今日は鉛直面内の円運動を学習しました。 これまでの知識を総動員して理解してください。 あともう２問を次回解きます。

授業を終えて。。。
まあまあ理解しているかな。ただ，自分でやるとなるとできないのかもしれない。 計算の難しさもあるし。頑張って演習問題をやってみよう！
※テストを終えて･･･理解していると思ったらできなかった!時間のかけ方が足りなかった。 急ぎすぎで授業をくみすぎている。反省。

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