円運動27①（円運動の速度と加速度の向き）

１．導入

今日は円運動について考えます。この内容は中間考査には出題しませんが，期末考査には出題する重要な内容です。頑張ってというよりは楽しんで考えてください。

２．課題１（円運動の速度の向き）

（ボールをひもでぐるぐるまわしながら）まあこれが円運動だね。とりあえず速さは一定の等速円運動をしています。まわしているときに糸が切れたらどの方向に飛んでいくでしょうか？次の問題の予想をしてください。

生徒の予想
ア　…7人
イ　…29人

では，理由を聞いてみましょう。アの人。
A君：「静止しているのだから，回転しない。ということは力のモーメントが０じゃないといけなくて，中心であれば，作用線が重心を通るから垂直抗力のモーメントが０になる」
オーケー。確かに垂直抗力のモーメントは０になるね。でも他に力はない？
A君：「あっ，摩擦があるか」
摩擦のモーメントはどうなる？
A君：「うーん・・・」
じゃあ，B君。
B君：「これはイです。作用線は１点で交わらなければならないから。」
なるほど。そうだったね。C君はどう？
C君：「重力を分解して…
（ここら辺で私の進行がおかしくなる。また記憶があやしい。最終的に，垂直抗力のモーメントと摩擦力のモーメントがつりあっていないと回転してしまうので，イではダメ。それって「作用線が1点で交わるということ」という説明をした。）

オーケー。ちなみにこう考えた方がわかりやすいかな？
そもそも垂直抗力というのは抗力の斜面に垂直な成分で，摩擦力は斜面に平行な成分なわけです。つまり，物体には重力と抗力の２力が働いていると考えられます。そうすると，抗力は垂直抗力と摩擦力の合力で上を向いている。これが重力と同じ作用線上にないと回転してしまう。よって，イが正解。

よろしいでしょうか?

３．問題演習（斜面上で静止する物体）

いまの話をもとに，問題４をやってみてください。

これはねあることが理解できていれば， 1行で終わる問題ですよ。

何人か正解が出てきました。ちょっと状況だけ確認しておこうか？斜面上に段ボールがあります。この重心に矢印を自由に動くように付けておきます。先ほどの課題の結論は，この矢印と斜面がぶつかるところに垂直抗力の作用線があるということだよね。この斜面をだんだん傾けていくと…

あるところで倒れます。どの瞬間で倒れるでしょうか？
もう少し考えてごらん。

少しはわかってきたね。垂直抗力の作用点は物体の外にあるわけないよね。言っている意味が分かりますか？抗力は斜面が物体を押す力だから，接触していないところで働くわけにはいかない。つまり限界は重力の作用線が物体の隅に来るときです。

このとき，
tanθ＝（a/2)/(b/2)＝a/b
となるわけです。というように推論して求めることができる。

４．問題４を解析的に解く

では，もう少し計算で解いていってみましょう。

上のような状況で，隅からx[㎝]のところに垂直抗力の作用点があるとします。このとき，重心を回転軸とすると，力のモーメントのつりあいの式はどのように書けるでしょうか？まわりと相談してでもいいから書いてごらん。

書けたら，力のつりあいの式を立てて，先ほどの式と合わせて，xをa，b，θを使って表してごらん。

できたら，x＝0が倒れない限界だよね。このときのtanθは当然，a/bになるというわけです。

D君：「先生，モーメントの式のプラスとマイナスってなんですか？」
はい。これは以前にも説明しましたが，力のモーメントは通常反時計回りをプラスとします。摩擦力のモーメントは回転軸に対して反時計回りに回転させる働きをもつのでプラス。垂直抗力のモーメントは時計まわりに回転させる働きがあるのでマイナス。というわけです。別に，プラスマイナスは考えずに，
垂直抗力のモーメントの大きさ＝摩擦力のモーメントの大きさ
という式を立てても構いません。それは，力のつりあいの式を
N－mgcosθ＝0
と書いてもいいし，
N＝mgcosθ
と書いても構わないのと同じです。

でも実演してみると，箱を長い方を斜面に接して置くと… 倒れる前に滑ってしまうね。じゃあ，「滑る前に倒れるための静止摩擦係数μの条件は？」…
μ≧a/b
となるわけです。

５．まとめ

ということで力のモーメントの範囲を終わりにします。よく復習しておいてください。次回からは運動量というものを考えていきます。

授業を終えて。。。
・課題７は予想よりも多くの生徒が理解していた。しかし，「いままで嘘だった！」という意見もあった。やっぱり物理基礎でも正確に書いた方がいいのであろうか？

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