単振動�@

１．導入

「小学校の復習です。振り子の周期は振り子が長くなると短くなる？長くなる？」
　　　　　↓　↓　↓
振り子が長くなると、周期は長くなります。

「大きく振らせると、周期は短くなる？長くなる？」
　　　　　↓　↓　↓
振幅は周期は関係ありません（ちょっと嘘）

「おもりが重いと、周期は短くなる？長くなる？」
　　　　　↓　↓　↓
おもりの質量は周期は関係ありません

この単元の１つの目的はこうした振動（単振動）を数式化することです。

ところで、右の左図のようにお椀の底みたいなところにビー玉を置くと、力がつりあいます。 右図のように料理で使うボール裏返した上に、うまくやればビー玉をのせてつりあわせることができます。 両方とも静止してつりあっているのですが、何が違うでしょう。 左図は、少しずらしても初めの位置を中心に振動していられますが、 右図は、少しでもずらすと、もう元の位置には戻れません。 つまり、左図を「安定なつりあい」、右図を「不安定なつりあい」とよびます。

「安定なつりあい」では、ちょっと動かすと、垂直抗力と重力の合力が中心方向を向いています。
この力を復元力といい、このために安定でいわれるのです。
そして、復元力がある場合に物体は振動します。

高校物理では、復元力の中でも「大きさが距離に比例している復元力」を扱います。
その復元力を受けていると物体は単振動します。

単振動は等速円運動の正射影になります。

２．単振動の数式化

「単振動が等速円運動の正射影である」→「変位に比例した復元力が働いている」という流れで証明します。

ここで、速さｖの式から
・速さは、振動中心で最大、端で０
であることがわかります。
さらに、加速度aの式から
・加速度は、振動中心で０、端で最大
となることがわかるでしょうか。
これは単振動の力「復元力」を考えれば当然です。振動中心からの距離に比例するのですから。

さて、上で求めた位置、速度、加速度、復元力の式は、
「はじめθ＝0から出発したとして、原点を中心に単振動している」という条件のものです。
でも、一番上から単振動をはじめてもいいし、原点が中心でなくてもいいはずですので、
これを「はじめθ＝θ₀から出発したとして、x_cを中心に単振動している」という条件に一般化してみると、

※たいてい初期位相は0°(sin型)、90°(cos型)、180°(−sin型)、270°(−cos型)のどれかです。
　()内の型は、初期位相を代入して三角関数の知識を使うと、位置がそのように表せるというものです。

次回は「実際にどうやって単振動の問題を解くか」です。

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