等加速度運動�B（等加速度運動の公式の導出）

１．導入

前回は加速度というものを定義しました。 加速度が10[m/s2]ならば，1秒間で10[m/s]ずつ速くなっていくということです。

そして，

これが使って，等加速度運動の公式を導出します。

２．等加速度運動

まず，等加速度運動であれば，「加速度は一定」。そして， v-tグラフの傾きは加速度ですので，「v-tグラフの傾きは一定」になります。

これまでは， t=0 のときの速度を0の問題を考えましたが， 別に 0 である必要はありません。ボールを上に投げて，手を放した瞬間を t=0 とすると， はじめの速さがありますよね。この t=0 の速度を初速度といい， v₀ で表します。

すると，v-tグラフは，傾きがa，切片が v₀ の一次関数になります。 よって，このv-tグラフを式で表せば，等加速度運動の一番目の式 v = v₀ ＋ at となります。
関数が苦手な人へ：傾きが 2 ，切片が 3 のy-xグラフを式で表せば，y = 2x+3 になりますよね。比較してみてください。

次に，v-tグラフの面積は変位xになります。台形の公式でもいいですが， v-tグラフの下の長方形と上の三角形に分けて考えてみましょう。 下の長方形は高さが v₀ で底辺が t ですので，面積は v₀t となります。 上の三角形は高さが v−v₀ ですが，これは先ほど導出した式を使えば at になります。 よってこの三角形の面積は 1/2at² になります。 あわせると，等加速度運動の2番目の式 x = v₀t + 1/2at² と求まります。

次に�@式と�A式から�B式を導出しましょう。 �@を t=〜 と変形して，�A式に代入して整理すれば導出できます （これくらいの文字計算には慣れてください）。

以上の３式が等加速度運動の公式です。�@式と�A式から�B式を導いたので， これら３つは独立ではありません。�@と�Aだけで十分ですが， 時間tが与えられていないとき，�B式があると計算が楽になりますので， ３つとも覚えてしまってください。

しかし，人間は忘れることもあります。導出できることも重要ですが， 「両辺の単位を考えることでミスを減らす」が大切。
速度v，v₀は[m/s]，加速度aは[m/s²]，変位xは[m]，時間tは[s]であることを用いて，
�@式では，両辺の単位が[m/s]になっている。
�A式では，両辺の単位が[m]になっている。
�B式では，両辺の単位が[m^{2//s2]になっている。
このことを必ず確認してください。もしくは単位も一緒に計算するとよいでしょう。}

もしくは「微分積分を利用」してもいい。 傾きを求めることは微分すること。面積を求めることは積分すること。といってもいいでしょう。

これらを利用するといざというときに役立ちます。
ちなみに微分積分はライプニッツとニュートンが同時期に発明し， まあどちらが先かという論争がありました。 しかしニュートンはこのように力学を完成させるために微分積分を考えたわけです。

次回は練習問題をやって，相対速度を勉強します。

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