光波24年度�I（光学的距離と光路差）

１．導入

前回は薄膜の干渉を学習し，宿題を出しました。

答えはわかりましたか？次のように考えます。
たとえば，強め合う条件でｍ＝０の場合で，ｄが一定値であるとします。
→波長が長い赤色が強め合うときのcosｒは大きい。
→よって，rは小さい。
→逆に，波長が短い青色が強め合うｒは大きくなる。
→つまり，手前に赤が見えて，奥が青色にスペクトルが見えます。 これはシャボン玉でも同じ。さらにdも同じでないし，複雑ですが原理はこの通りです。

２．光学距離と光路差

薄膜の斜めの干渉を考える際に、 「経路差を考えるときには，同じ波長でないと引き算はできない」 と説明しましたが，それらの経路を比べる方法がありますので， 今回はその点について学習していきます。

まず，なぜ比べることができなかったかというと、波長が違うからです。 それらを比べるためには、逆に波長を同じにしてしまえばよいことになります。 つまり、媒質によって縮んだ波長を、 真空での波長にまで引き延ばしてあげるのです。それを「光学距離」といいます。
実際には、屈折率がｎの媒質中で波長は真空の1/n倍になっていますので、 波が存在する距離をｎ倍してあげたものが、「光学距離」になります。 そして、光学的距離の差を「光路差」といいます。

３．光路差を用いる例

下の図を見てください。真空中を進んでいる光（上）と途中でガラスを通過する光（真ん中） の干渉を考えます。

片方が途中でガラスに入り、波長が縮んでいるので経路差で考えることはできません （「実際の距離の差」は０ですので、経路差は０といえる！？）。 そこで、ガラス中の縮んだ光を、真空中と同じ波長までグイーッと引き延ばしてあげたのが 次の図の一番下の光です。 これであれば、波長が同じなので比べることができます。

このように，真空の波長に引き延ばして上げた距離を「光学的距離」（光学距離）， それらの差を「光路差」というのです。

よって，ここでの光路差は(n−１)Lとなります。 そして，干渉条件は，(n−１)L＝ｍλ　となります（λは真空での波長）。

３．位相差・波の数の差・経路差・光路差

経路差とか光路差とか出てきましたが， もともと何であったのか式を使って考えていきたいと思います。

2つの波源S1とS2から同位相で波が出ていたとして， それぞれの点からr1，r2だけ離れた点Pの変位を考えます。
そのためには，S1とS2からくる変位をそれぞれ求めます。 それらを重ね合わせて，和積の公式を使って変形すると，赤で囲った式になります。

この赤の式は，cos部はtが入っていないので，時間に関係のない項で， この部分を振幅（正確には，２Acosの絶対値）といいます。 sin部は中にtが入っているので，−1〜1の間を振動するわけです。
そして，「強め合う場所とは，振幅が最大（つまり２A）になる場所」です。 よって，cos部が−1か1になる場所です。 逆に，「弱め合う場所とは，時間にかかわらず常に振動していない場所」ですので， cos部が０になる場所です。

それらを変形すると，強め合う条件はいろいろと変わっていきます。
・位相差＝２πｍ　→それぞれの波源からくる波のsinの中身の差
・波の数の差＝ｍ　→それぞれの波源からそれぞれ何個波が入っているか，その差が整数なら強め合う（これわかりやすい）
そして経路差や光路差が出てくるわけです。

今まで考えていた場合はどの方法でも構わないのですが， いつでも経路差を使えるわけではないです。
波の数の差の式で，

r1/λ1−r2/λ2＝ｍ　

というように，それぞれの経路で波長が違っている場合は， 経路差の式には直せません（つまりそのときには経路差を使うことができない）。 これが「経路差を使うときに，波長が違うものを引き算できない」といった理由です。
そのときには，λ1＝λ/n1，λ2＝λ/n2　として，

n1r1−n2r2＝ｍλ

と変形する。つまり「光路差」を使うのです！

また，逆位相のときや，反射によって位相がπずれるときには， 強め合う条件と弱め合う条件が逆になる理由もわかるでしょうか？
位相がπ違うのだから，強め合う式は，

（Φ1＋π）−Φ2＝２πｍ

となるので，変形していけば経路差の式は，

r1−r2＝（ｍ＋1/2）λ

となり，いつもと逆になるのです。

４．薄膜の干渉（斜め）を再び

先日解いた薄膜の干渉の問題を考えた際， 経路差はPB＋BC−QCではダメといいました。
しかし光路差を考えればその経路でもいいのです。
つまり，光路差はn(PB＋BC)−QCです！

というように，光路差は以前求めた経路差2dcosｒをｎ倍したものと同じになります。

そして干渉条件は、
明線：2ndcosｒ＝（ｍ＋1/2）λ
暗線：2ndcosｒ＝ｍλ　　ｍ＝0、１、２･･･
となり，以前求めた干渉条件の両辺をｎ倍したものになります（つまり同じこと）。

４．まとめ

今日は光路差というものを学習しました。 経路差では考えられない問題もこれで解けることになります。 そしてそれが正弦波の式と重ね合わせの原理から求められるところがすごくないですか？

授業を終えて。。。
急ぎすぎたので，理解できていない生徒は多数いる。

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