波の性質�C（正弦波の式）

１．導入

物理の目的のひとつは「未来を予測する」ことです。 現象が起きてそれが何時に自分のところまで影響がでるか予測するということです。
いまは波を学習していますから，波が波源で発生し，ある位置x[m]の時刻t[秒]では 波の高さy[m]はどうなるか式で表すことを目標とします。

２．単振動の式

縦波でも横波でも，波が進行するとき媒質はその場で振動しています。 波が正弦波になるときには，媒質は単振動しています。 ここで単振動とは，振り子のような振動だと思ってくれればいいですが， ポイントは「等速円運動の正射影が単振動になる」ということです。
つまり等速円運動するボールに光をあてた影が単振動するわけです。

仮定：時刻t=0[s]で，(A，0)から反時計回りに回転する等速円運動を考え， その正射影を考えます。

角θ[rad]進んだとき，y＝Asinθ　になります。

角振動数ω[rad/s]の定義

1秒間に10回転するのであれば，１回転は2π[rad]ですので，1秒間に20π[rad]回転します。
これを「角振動数ω＝20π[rad/s]」といいます。つまり「1秒間に何[rad]回転するか」ということ。
角振動数がωであれば，t[s]間ではθ＝ωt[rad]回転します。

つまり，t[s]のときのｙ＝Asinωt　になります。これが単振動の式です。

ただし，これは出発点を仮定しています。
(0,A)が出発点なら，ｙ＝Acosωt
(-A,0)が出発点なら，ｙ＝-Asinωt
(0,-A)が出発点なら，ｙ＝-Acosωt
となります。中途半端なところからの出発も考えられるし， cosωt＝sin(ωt＋π/2)などと変形できるので，
一般的に，y＝Asin(ωt＋θ₀)　と表し， θ₀を「初期位相」といいます。

３．理解するための導入

準備は整ったので正弦波の式に入りたいのですが，横道にそれてみて， 床を転がすと等速直線運動するボールを例にとって考えてみます。

想定１

t=0[s]に原点を速さ20[m/s]で出発したボールは，x=100[m]に到着する時刻は？　t=100/20=5[s]です。

想定２

t=0[s]に原点を速さ20[m/s]で出発したボールは，位置x[m]に到着する時刻は？　t=x/20[s]です。

想定３

t=0[s]に原点を速さv[m/s]で出発したボールは，位置x[m]に到着する時刻は？　t=x/v[s]です。
つまり原点よりもx/v[s]だけ遅れてくるということです。

想定４

t=t[s]に位置x[m]にある速さv[m/s]のボールが，原点を出発した時刻は？　t=t−x/v[s]です。

これで準備は整いました。

４．正弦波の式

さて，目的は波が波源で発生し，ある位置x[m]の時刻t[秒]では 波の高さy[m]はどうなるか式で表すことでした。 つまり，yはxとtによって変化する関数ですので，y(x,t)と表します。 そして，y(x,t)を求めたいわけです。

原点で　y＝Asin(ωt＋θ₀)　と振動するということは， y(0,t)＝Asin(ωt＋θ₀)　ということです。

そして，先程考えたことから，原点を出発したボールはx/v[s]遅れて位置x[m]に到達します。
これを波で考えると，原点での高さy[m]の波は，x/v[s]遅れて位置x[m]に到達します。
つまり，t=0[s]のときの原点の波の高さ　＝　t=x/v[s]のときの位置xの波の高さ　です。
これを式で表すと，y(0,0)＝y(x,x/v)　です。

同様に，t=t-x/v[s]のときの原点の波の高さ　＝　t=t[s]のときの位置xの波の高さ　です。
これを式で表すと，y(0,t-x/v)＝y(x,t)　です。

よって，y(x,t)は，原点の情報に，tの代わりにt-x/vを代入したものになりますので，
y(x,t)＝Asin｛ω(t-x/v)＋θ₀｝になります！

これで初期位相がわかれば，知りたい時刻tと知りたい場所xを代入すれば， その時刻・位置での波の高さを求めることができるということです。

５．x軸負の向きに進む正弦波の式

これまではx軸正の向きに進む波を仮定していましたが， 負の向きに進む正弦波の式は何か変わるのでしょうか？

例えば，原点からx軸負の向きに進み，位置xに波がいきます。 このとき原点から位置xまで進む時間は何秒ですか？
x/v秒と言いたいところですが，xは負ですので，|x｜/v秒です。
つまり−x/v秒かかりますので，原点の情報は−x/v秒遅れで届きます。
よって，波の式は，y(x,t)＝Asin｛ω(t＋x/v)＋θ₀｝ となるのです。xの係数が＋だとx軸負の向きに進みます。

６．まとめ

今日は難しい内容だったと思いますが，波を数式で理解するうえで正弦波の式は不可欠になります。 よく復習しておいてください。次回は定常波に入ります。

授業を終えて。。。
やはりy(x,t)の意味をきちんと説明したほうが理解しやすいようだ。

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