単振動27①（単振動とは？単振動の数式化）

今年度は教育実習生が担当しているので，そのなかでのやり取りは参考にしていますが，これは授業記録ではなく授業案です。

１．導入

前回までで円運動は終わりです。一応復習しておきますか。
円運動の速度の大きさは？
はいA君。
A君：「v=2πr/T」
オーケー。ωを使って表すと？ A君：「v=rω」
いいですね。では加速度の大きさは？
A君」「a=rω²」
オーケーです。（黒板の左端に書いておく）

今日から単振動に入っていきます。今日の目標は単振動の基本的な式を導出することです。ちょっと急ぎ足でいきますが，がんばって付いてきてください。

２．単振動とは？

（鉛直ばね振り子を見せて）このような振動を単振動といいます。この位置を時間の関数で表すとどのように表せますかね。例えば，鉛直投げ上げなら，x＝v₀t-1/2gt² と書けるよね。ではこの場合は？ちょっと難しいよね。
ここにボールがあります。
このボールを等速円運動させて横から見ると
…
どう見える？単振動に見えるでしょ！？見えない？まあね，よくわからないよね。
ではこれはどうでしょうか？

ばねがつり合っているときと，円盤の中心を一致させて，この円盤を回転させて，ちょうどいいタイミングでおもりを離すと…

youtube

ほら！単振動のおもりの位置と等速円運動のおもりの高さは一致するでしょ！

つまり，さっきのボールを等速円運動させて光を横から当てたとき，その影の運動が単振動になっているのです。つまり，単振動は等速円運動の正射影だと言えます。

その考え方を使って，単振動のある時刻tの位置xを式で表してみたいと思います。

３．単振動の位置・速度・加速度/u>

とりあえず，時刻0秒のときに，つりあいの位置を正の向きに通過したと仮定します。またつりあいの位置を原点に設定します。等速円運動の角速度はωです。

まず位置です。
いま半径がAの運動をしていて，スタートから時間t秒が経過したところです。進んだ角はいくらですか？そうですね，「θ＝ωt」。
ではこのときの高さはいくらですか？そうそう，「Asinωt」となるわけです。つまり，
位置：x=Asinωt

では速度vは時間tの関数でどのように表せるでしょうか？
とりあえず，単振動している物体では速さはどこで0になる？そうだね，一番上と一番下，振動の端では速度は０になるよね。真ん中は速さが最大だ。物理基礎の波のところでやったよね。覚えていない？ではスクワットをしてごらん。
「あー，思い出した」
そんなことやったね。とりあえず単振動の端では速度は０になる。

では，具体的に表すには，ここでも「単振動は等速円運動の正射影」ということを使ってあげます。

矢印の正射影を考えれば，つりあいの位置を通過するときには速さは最大で，一番上と一番下では縦成分は0になっているのがわかるね。同じようにt秒のときも考えてあげればよい。ただ，ここでは半径がAで角速度がωなので，円運動の速さはv=Aωと表せる。

この図から，
速度：v=Aωcosωt
となります。

最後は加速度です。
これも同じです。ただ，半径がAなので，等速円運動の加速度はAω²であることは考慮してください。そして，等速円運動の加速度は中心向きであった！

この図から，
加速度：a=－Aω²sinωt
となります。

４．単振動の運動方程式/u>

ここまでで単振動の時刻tにおける位置・速度・加速度を表すことができました。ここでよく加速度の式を見てください。変形すると，
加速度：a=－ω²×Asinωt＝－ω²x
となります。このように加速度は位置xにマイナスは付くけど比例している。さらに，この式に質量mをかけてあげると， ma＝－mω²x
mω²＝Kと置くと，
単振動の運動方程式：ma=－Kx となります。

ma=FのFは合力を表しています。その合力が単振動の場合であれば－Kxで表される。この力をちょっと見ていると， xが正であれば，合力はどちら向きだということですか？そうだね，マイナスなんだから左向き。では，xが負の場所だったら？そうそう，－Kxのマイナスとxのマイナスでプラス。だから右向き。つまり，合力は常に中心方向を向いているということ！そして合力の大きさはxに比例する。こういう力を復元力といいます。
円運動の向心力でも「向心力」という種類の力が働いているわけではないといいましたが，それと同様に「復元力」という種類の力があるわけではない。例えばばねの弾性力が復元力の働きをします。

５．まとめ

今日は単振動の運動方程式はどのような形になるか学習しました。次回はもう少し具体的に考えてみたいと思います。

授業を終えて。。。
・少し時間が余るかもしれない。
・プリントは位置・速度・加速度の図を横にした方がよい（板書に近づける）。

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