単振動�@（単振動とは？単振動の数式化）

本年度から双方向のやりとりを多く取り入れていきたいと思います。 これは「物理教育通信　No.146」（APEJ物理教育研究会　発行）の 岸澤眞一先生（現拓殖大学学習支援センター）「日々の授業を組み立てる(1)」に大きな影響を受けました。 課題のほとんどは岸澤先生の考えたものです。

１．導入

今日から単振動に入っていきます。 今日の目標は単振動の基本的な式を導出することです。 ちょっと急ぎ足でいきますが，がんばって付いてきてください。

２．単振動とは？

鉛直ばね振り子を見せます。このような振動を単振動といいます。 単振動のポイントは，合力が中心方向を向いていることです。 正確には，常に中心を向いた，中心からの距離に比例した力「復元力」 が働くことで，物体は単振動をします。
この鉛直ばね振り子の場合でも，重力とばねの弾性力の合力は常に中心を向いており， 中心から離れても中心方向に戻されるのです。

こうした単振動は，等速円運動の正射影になります。

２．単振動の数式化

「単振動が等速円運動の正射影である」→「変位に比例した復元力が働いている」 という流れで証明します。

このように，単振動は正射影であることを用いてると， 運動方程式の合力Fは，　F=-Kx　という形になるはずです。 つまり，xが正のときは力は負の向き（中心向き）， xが負のときには力は正の向き（中心向き）というように， 必ず中心を向いており，距離xに比例することがわかったと思います。

※速度と加速度は正射影と微分の両方から導出しました。
※ここには最大速度vmax＝Aω　という式を書いてありますが， 今回は次回の議論につなげるため，速度についての説明はほとんどしませんでした。

さて、上で求めた位置、速度、加速度、復元力の式は、
「はじめθ＝0から出発したとして、原点を中心に単振動している」という条件のものです。
でも、ストップウォッチを押す（つまりt=0の）タイミングはどこでもいいはずです。 一番上のときをt=0にしてもいいし，中途半端なときでも良い。
また，振動中心は原点でなくてもいいはずです。
これを「はじめθ＝θ₀から出発したとして、x_cを中心に単振動している」 という条件に一般化してみると、

※たいてい初期位相は0°(sin型)、90°(cos型)、180°(−sin型)、270°(−cos型)のどれかです。
　()内の型は、初期位相を代入して三角関数の知識を使うと、位置がそのように表せるというものです。

このように一般化すると，単振動の運動方程式は
　　ma=-K(x−xc)
というように書けます。逆に，運動方程式を書いてこのような形になる物体は， 単振動をするといえます。

３．まとめ

生徒からの質問：「結局，何を求めたいのですか？」

そうだね。力学は物体の運動を予測することが大切なので， 単振動の場合だと「周期はいくらか」がポイントになります。 そして，位置や速度を出す。とりあえず，今日のところまででいうと，
�@物体に働く力を記述し，運動方程式をかく。
�A運動方程式が，ma=−○(x−△)という形で書けたら，単振動だとわかる。
�Bすると，周期はT=2π√m/○　だとわかるし，振動中心の座標はx＝△だと求められる。
というところです。

次回は実験室で何題か課題を考えてもらって，議論してほしいと思います。

授業を終えて。。。
数学が得意な生徒はよく理解できていたが，数学に難を抱える生徒は物理とリンクできていない。 次回の実験で少しはつながるようにしたい。

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