仕事とエネルギー�B（保存力と位置エネルギー→エネルギーの原理（タイプ�A））

１．導入（これまでの復習）

これまでやってきたことは，仕事を定義し，（仕事率や仕事の原理もやって）， 前回は運動エネルギーを学習しました。エネルギーというのは仕事をする能力です。 １００[J]のエネルギーを持っていれば，１００[J]の仕事ができます。 動いている物体が，他の物体にぶつかれば力を加えて動かすことができる， つまり仕事をする能力を持っている。これを運動エネルギーといいました。 今日は位置エネルギーというものを学習していきます。

２．保存力と位置エネルギー

まず難しい話（定義）をします。保存力というものは以下のように定義でき， 保存力には位置エネルギーというものが定義できます。

※とりあえず，保存力は「重力」と「弾性力」だけとしておきます。 実際には静電気力もそうですし，万有引力だってそうです。ただ話をシンプルにするために ひとまずはそうしておきます。

※「ゆっくり運ぶ」＝「外力と保存力がつりあっている状態で」という意味です。 生徒からも質問がありましたが，「力がつりあっていて移動するか？」。 これはトータルで可能であると考えます。つまり静止している状態で， 外力を保存力よりほんのちょっとの間大きくしてあげると動き出します。 つまり速度が生じます。この瞬間に外力を保存力と同じにします。 すると一定の速さで移動するはずです。 そして最後に外力を保存力よりも少しだけ弱めてあげます。 すると減速して止まります。 最初の加速のときと最後の減速のときのプラスマイナスを考えると， トータルの仕事は力をつりあわせたままのときと同じといえます。

３．重力による位置エネルギー

さて，前回釘をさすのにハンマーを用いました。 質量が大きい，速さも大きいハンマーが釘に当たれば大きくささる。 つまり，できる仕事も大きい。これを運動エネルギーといいました。

ではハンマーがなかったとしたら，釘をさすのに石を高い位置から落としたりしますね。 つまり高い位置にある物体はエネルギーを持っており， それを重力による位置エネルギーといいます。 では，これを導出していきます。

質量mのおもりを地面から高さhまで持ち上げることを考えてください。
このとき外力の大きさはmgで移動させます。 すると，外力のした仕事は正で，mghになります。
この間に重力がした仕事は負で，−mghになります。
よって「重力による位置エネルギー＝mgh」となります。

ここで，仕事は力と変位のグラフの面積になることは抑えておいてください。

ここで，重力の位置エネルギーは基準をどこにとっても構いません。 地面を基準にしてもいいですし，ビルの屋上を基準にしてもいい。 つまりは「差」しか意味を持たないので構わないのです。 しかしそのためにマイナスのエネルギーが出てくることもありますが， 気にする必要はありません。

４．弾性力による位置エネルギー

さて，釘をさすのに，ハンマーもなければ石もない状況であればどうしますか？ 当然ばねを使いますね（生徒から強引過ぎるとの声が･･･）。 縮めたばねを釘にあてれば，グイッと押して釘がささる。 つまり縮まっている（伸びている）ばねはエネルギーを持っている。 これを弾性力による位置エネルギーといいます。

ところで，弾性力の力はどのように書けたか覚えていますか？
F=kxです。ｋはばね定数[N/m]，xはばねの伸び（縮み）[m]です。

では，水平面上にばねを置いて自然長からxだけばねを伸ばすことを考えます。
このとき，外力と弾性力はつりあわせて移動させます。 「外力のした仕事＝外力×移動距離　ですので，W＝kx×x＝kx²でいいでしょうか？」
これはだめです！なぜなら力が変化しているからです。 つまり，ばねの伸びが0のときの力は0ですが，だんだん強くなって，xのときにkxになる。 グラフを書いてみるとわかるでしょう。

つまり，仕事は力を変位で積分するということはわかったでしょうか？

５．エネルギーの原理（タイプ�A）

以前，エネルギーの原理（タイプ�@）を学習しました。 「あとの運動エネルギー−はじめの運動エネルギー＝物体がされたすべての仕事」というもの。

ところで，物体がされたすべての仕事というのは， 保存力がした仕事と非保存力がした仕事に分けられますので，変形すると，
「あとの運動エネルギー−はじめの運動エネルギー＝保存力のした仕事＋非保存力のした仕事」
移項すると，
「あとの運動エネルギー−保存力のした仕事−はじめの運動エネルギー＝非保存力のした仕事」
ここで，位置エネルギーの定義を思い出してください。 「位置エネルギー＝−基準からその位置までに保存力のした仕事」です。 ここでの「保存力のした仕事」とは，「はじめの状態からあとの状態までに保存力のした仕事」ですが，
「はじめの状態からあとの状態までに保存力のした仕事」＝「基準からあとの状態までに保存力のした仕事」−「基準からはじめの状態までに保存力のした仕事」
と表せるでしょう。つまり，
「はじめの状態からあとの状態までに保存力のした仕事」＝「−あとの位置エネルギー」−「−はじめの位置エネルギー」
ですので，これを先程の式に代入すると，
｛あとの運動エネルギー＋あとの位置エネルギー｝−｛はじめの運動エネルギー＋はじめの位置エネルギー｝＝非保存力のした仕事
となります。ここで，

と定義します。すると，

となります。

６．力学的エネルギー保存の法則

さらに，もし非保存力のした仕事が０に場合にはどうなるでしょう？

となります。これは力学の中でも重要な法則になります。

今日はザクザク理論的なことを進めてしまいました。 理論よりも実際に練習問題をやるとわかると思いますので， あきらめずについてきてください。あと少し！

授業を終えて。。。
期末考査までの時間がないため，早く進めすぎなのはわかっています。

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