ケプラーの法則①

１．導入

　問題「太陽が地球のまわりを回っていますか？地球が太陽のまわりを回っていますか？」
答は「地球が太陽のまわりを回っています」。現在は当たり前のことですが、日常で生活していたら絶対気付きません。昔の人が天動説を信じていたことは驚くべきことではありません。

　紀元前4世紀頃アリストテレスは同心円状の階層構造をなしている宇宙を考えます。地球が中心にあり、そのまわりを惑星をのせた天球が回転しており、一番外側は恒星をのせた天球が回転しているものです。 2世紀頃にはプトレマイオスが、それまでの知識をまとめ、周転円（惑星は小さな円運動をしながら地球を中心とした公転円を回転する）ことで惑星の逆行などを説明する天動説を唱えました。それ以降、プトレマイオスの宇宙論が支持されて16世紀を迎えます。

　そこに、ニコラウス・コペルニクス(1473-1543)は、観測結果がプトレマイオスのモデルでは説明できず、太陽のまわりを惑星が回るという宇宙像を考えることで、観測をよりよく説明できるとして「天体の回転について」のなかで地動説を発表します（地動説自体は古代ギリシャでもあり、コペルニクスも刺激を受けたと書いています）。その後、ローマカトリック教会によってその本は禁書目録に入れられます。さらに、17世紀に入りガリレオ・ガリレイ(1564-1642)が、木星の衛星・金星の満ち欠け・太陽黒点と自転などを発見します。これらの現象は天動説に不利な証拠で、コペルニクスの地動説を支持します。そのために晩年は宗教裁判で有罪になります（「それでも地球は動く」と言ったというのは怪しい）。ちなみに、ガリレオは「物体落下の法則」や「振り子の等時性」、「慣性の法則」など重要な発見をしています。そしてガリレオを「近代科学の父」と言わしめるのは、実験的事実と数学的理論を結びつける実証的な科学の方法を確立したからです。

　そのころ、ティコ・ブラーエ(1546-1601)は、電話帳のようなものが何十冊というような観測記録を残します。ブラーエ自身は地動説が正しければ当然観測されるであろう年周視差が観測できなかった事から、地動説には否定的な立場をとり、「太陽は地球の周りを公転し、その太陽の周りを惑星が公転している」という修正天動説を提唱しています。その弟子がヨハネス・ケプラー(1571-1637)です。ケプラーはブラーエの膨大なデータを解析し、太陽のまわりを惑星は楕円軌道で動くというケプラーの法則を導きます。天動説はもとよりこれまでの地動説も「天体は円運動」という固定観念に縛られていました。それだけに地動説よりも、楕円軌道というケプラーの法則のがコペルニクス的転回といえるかもしれません。ようやくアイザック・ニュートン(1642-1727)の登場です。ニュートンは「プリンキピア」(1687)で運動の３法則や万有引力の法則を発表し、ケプラーの経験則を数学的に証明し、天体の運動のもととなる力を説明します。

２．ボーデの法則とケプラー第3法則

ところで、次の表を見てみてください。０、３、６、１２･･･という数列があります。これに４を足して、１０で割ってみた数値と惑星の平均距離を比較してみてください。

２．８に対応する惑星はなく、海王星の３０に対応する数字がないけれども、よく一致しているよね。

これはボーデの法則といって、１７６６年ティティウスが発見。１７７２年ボーデが発表したものです。惑星の軌道をみて、「規則性はないかー、式で表せないかなー」と考えて出てきたものですが、現在の天文学では物理学的な根拠はない式として、つまり偶然の一致として考えられています。しかし、火星と木星の間にはケレスのような小惑星帯があるし、冥王星の外側にはエッジワース・カイパーベルト天体があるので、それらが海王星や冥王星の軌道に影響をおよぼしているのかもしれません。修正を加えれば、今後意味のある式になるのかもしれません（やってみてはどうでしょう？）。

ケプラーもこの式を本で紹介しているのですが、宇宙には調和があるはずだと信じて、もっと規則性のある式はないか考えるわけです。では、次の惑星の平均距離と周期の間には関係があるようにみえますか？

規則性をみつけられたら、物理の評価は'5'をあげます。ケプラーでさえ１０年の月日を要したのです。平均距離を３乗、周期を２乗してみてください。

見事に一致しているでしょう！平均距離の３乗と周期の２乗は比例するのです。これは意味がある規則です。ケプラーの第3法則ですが、「調和の法則」とよびます。

３．ケプラーの法則

さて、書いてから説明します。
＜1＞＜1＞
※第1法則について･･･地球の楕円軌道ではありますが、遠日点距離を近日点距離で割ると1.035なので、かなり円に近い。冥王星では1.667。

※第2法則について･･･楕円軌道で太陽の近くでは速く動き、遠くだと遅く動くということです。円運動の向心力の説明に使ったバネに5円玉をつけたものを回転させながら、指に巻き付けていくと速くなるのを見せる。アイススケートで回転しているところをよく観察すると、はじめ腕を伸ばして回転しているが、腕をたたんで速く回転するのがわかる。

※第3法則について･･･地球を中心として月と人工衛星でも成り立つ。

注意！　第2法則は「１つの惑星」において「一定」で、第3法則は「惑星間」で「一定」です。
　　　　例えば、第2法則は冥王星が太陽に近いときと遠いときでも面積速度が一定。
　　　　第3法則は、Tの２乗／aの３乗が地球と冥王星で同じ（一定）であるということです。

※地動説の本当の意味･･･天動説というと「地球が中心にある」ことばかりが強調されますが、むしろ天上界と地上界とをわける二元論に着目しなければなりません。天動説では、土・水・空気・火の４元素からできており、石が落ちるのは石が土の元素を多く含んでいるので地面に戻ろうとする、煙が上昇するのは煙が火や空気の元素を多く含んでいるから上に行くというように、答ありきの目的論的な説明になります。そして天上界では地上界とは違った法則が支配していると考えます。このような説明は自然を定量的に記述しようとする土壌ではありません。そうしたことがコペルニクスにはじまりニュートンに至る過程で解消されたことが、その後の科学の進展を促す土壌となったのでしょう。
　ですので、ニュートンの万有引力のすごいところは、地球上の物体同士でも、惑星でも同じ法則が当てはまるということで、「万有」という言葉が表している意味だと思います。

参考②：角運動量保存の法則の証明
（大学の内容ですが、中心力では成り立つので、クーロンの法則でも成り立つことは知っておくとよいでしょう。たまに難関大学入試で出題されます。）
＜1＞

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