気体の熱力学�E（分子運動論）

１．導入

これまで「温度は分子運動エネルギーの平均値」とか， 「内部エネルギーはU＝3/2nRT」などと説明してきましたが，実際に証明はしていませんでした。 今日は，分子レベルから熱現象をみて，内部エネルギーの式などを証明していきます。

※本来は「物理�U」のはじめは分子運動論から入るものですが， ある程度内部エネルギーの式などを使用してありがたみがわかった上で分子運動論に入る方が， 感動が大きいように感じるので，この順序にしています。

２．分子運動論

まず目標は「温度を力学の言葉で書く」です（力学で使われる文字で書くということ）。
仮定は，一辺がLの立方体のなかに，質量mの分子がN個閉じ込められており， 分子と壁は完全弾性衝突する。この気体は理想気体の状態方程式に従う。です。

すると･･･

というように，絶対温度は分子の運動エネルギーの平均値に比例することがわかります。

次の目標は，「内部エネルギーを力学の言葉で書く」です。
内部エネルギーは，「分子の運動エネルギーの合計＋分子間力の位置エネルギーの合計」ですが， 理想気体では分子間力を考えていませんので，運動エネルギーの合計だけ考えればよいことになります。よって･･･

ここで，この式の意味を考えてみましょう。運動エネルギーに変形すると，
1/2mv²＝3RT/2N_A＝3kT/2
ここで，kをボルツマン定数といいます。

この式を見てボルツマンは，「1自由度あたり1/2kTずつエネルギーは分配される」 と考えるとうまくいくと気付いたのだと思います。xyzの3方向に動けるので，いま自由度は３といいます。 これが２原子分子になると，自由度は2原子あるから2倍の6なんだけど， 束縛されているので１つ減って，５です（これをxyz方向と回転方向が2方向あるということもできる）。 そうすると，内部エネルギーが5/2nRTとなって都合がよい。

よって，この法則を「エネルギー等分配則」と名付け，基本法則としました。

３．2乗平均速度・分子数密度・平均自由行程

以上のように，分子運動論により内部エネルギーの式を導出しました。 これを元に，少し実際の気体がどのように動いているのか見ていきましょう。
（計算を簡単にするために，窒素分子 （分子量28）が温度280K（7℃），1気圧にあるとします。）

※このプリントは資料として配付しました。

４．まとめ

分子は1平方メートルあたりに2.6×10²⁵個あり， 500m/sくらいの速さで，1秒間に3.6×10⁹回衝突していることになります。
イメージが付くでしょうか？結構な数がいまも顔にびちびち当たっていますね−。

このように分子運動からはじめてだいぶ熱力学現象がわかったでしょう。 これが物理のすごいところだと思います。次回は，問題をやっていきたいと思います。

授業を終えて。。。
おもしろがる生徒と全く何も感じない生徒と出てしまう。仕方がないことか？ 確かに分子運動論はテストにも出しますが，暗記しても何の役にも立たない。

← もどる 気体の熱力学�D

このページの 　トップへ

すすむ　→ 気体の熱力学�F