物理基礎の電磁気学�G（問題演習と電池の内部抵抗）

１．導入

今日はキルヒホッフ第二法則をきっちり理解することと， 少しプラスαで電池について考えてみます。

２．キルヒホッフの法則の練習問題

さて，次の問題を考えてみてください。

はじめてみたいなものだから，ちょっとヒントを出しますね。 まず，わからないものに適当な文字を当てる。 ここでは，R1に流れる電流をI1，R2はI2，R3はI3とします。 それで，次のように，赤の経路�@， 青の経路�Aでキルヒホッフ第二法則を適用してみてください。 それと，キルヒホッフ第一法則を考えてみて式を立ててください。

（巡回指導）

ではやっていきましょう。まず，赤い経路�@です。 電池をマイナスからプラスに通過するので「あがる１５V」。
導線は平らで，3.0Ωの抵抗を電流の向きに通過すると「さがる」。 どれだけさがるかはオームの法則で，電流×抵抗だけさがる。 いまは，I1だけ流れているので，I1×3.0だけさがる。 今度はもう一個の3.0Ω。ここはI2だけ流れているので， I2×3.0だけさがる。それで元の位置だから０。
＋15−I1×3.0−I2×3.0＝0

今度は青い経路で行くよ。 いきなりここがポイント。前回やった反時計回りのことを思い出して， 電流と逆向きに抵抗を通過すると，電位は「あがる」ので， I2×3.0だけあがる。6.0Ωに対しては，電流と同じ向きだからさがる。 これで一周するので0。
I2×3.0−I3×6.0＝0

まずはキルヒホッフ第一法則ってなんだっけ？
ある点に，入ってくる電流の合計＝出ていく電流の合計。
点Pを見てみれば，入ってくる電流はI1だけ。 出ていく電流はI2とI3。 よって，
I1＝I2＋I3

さあ，これで準備ができました！ 勝手に自分で設定した文字はI1，I2，I3の３つ。 それで，方程式も３つ。基本的には求めることができるはず。 ここからは数学の問題です。解いてください。
解けない？（3人くらいが手を挙げる）
三番目の式を一番目の式に代入してください。

というわけで，簡単な答えになるようにしました。
これで(1)の準備が整った。
では，点Pの電位はいくらですか？
これも何も覚えていなくてよくて， 測量して点Pまで歩いて行けばよい。 アースのところは電位が０という意味でした。 ですので，アースのところから歩いて行くと，
電池で15ボルトあがって，抵抗でI1×3.0，つまり，9ボルトさがる。 よって，点Pの電位は6.0[V]。
別に逆に回っても構わないよ（上の解答を参照）。

３．合成抵抗の式の導出

というわけで少しはつかめてきたかと思います。 それで，キルヒホッフの法則とオームの法則があれば， 合成抵抗の式はいらないのだけど， あのまま式を与えただけでは科学的と言えないので， ここで証明しておくね。

ポイントは「電池を同じ電流が流れている」という条件であること。

４．電池の内部抵抗

さて，ちょっとあっちこっちしているけど， 課題５のプリントを持っていますか？
ある班では次のような結果になっていました。

でも，これって何かおかしくない？どこがおかしいかわかるかな？
左の回路と右の回路ではともに豆電球に同じ電池がつながっているのだから， 左の回路のそれぞれの電球に0.30[A]が流れてもいいのでは？ これまで並列でつないだら，1個のときと同じ明るさってたぶん習っている。 まあ，0.26[A]と0.30[A]くらいの違いでは，目視で明るさの違いを認識できないけどね。 それでもおかしいでしょう。

これはなぜかというと，電池には抵抗があるからです。

これを「電池の内部抵抗」といいます。 どうしても電池にも流れにくさがある。電池の電位をあげる働きを「起電力」といいますが， 内部抵抗で電圧降下が起こる分，電池の両端の電圧「端子電圧」は， 起電力よりもさがってしまうのです。

理科教員として恥ずかしい話をします。 まだ若いけど（？），もっと若いとき， 文化祭が終わって，使える電池と使えない電池を分けようとしたんですね。 それで電圧計を電池の両端につけて測ってみたわけです。 そしたら，これも1.5VでOK，これも1.5VでOK，これも･･･，これも･･･
10個くらいいったところで気付きました。 これで新しい電池と古い電池を見分けることはできない！ なんでかというと電池に電流が流れていないからなんです。 電流が流れていないと内部抵抗はあっても，内部抵抗の電圧降下は０になってしまう！ 電池が古いってことは，起電力がさがるよりも内部抵抗が大きくなる要素が大きい なんですね。だから，このやり方では新しい電池と古い電池をわけることができない。
一人で馬鹿だなと思いました。

S君：「でも先生，その回路は閉じてるから電流は流れるんじゃないですか？」
おー！素晴らしいところに気がつきましたね。 騙そうと思っていたのに！ まあ，電流は０ではないですが，かなり小さいのです。 なぜなら電圧計の内部抵抗はとても大きいからです。 1000Ωくらいある。だから正確には電流は「ほぼ０」。
ちなみに，だから通常は電圧計は並列につなぐことができると言ってもいい。 内部抵抗が小さい電圧計を並列につないだら， 測りたい豆電球に流れる電流が小さくなって影響を与えてしまうでしょ。
では，電流計の内部抵抗は大きい？小さい？
S君：「小さい！」
そうなんですね。電流計の内部抵抗は小さい。 だって電流計は測りたい豆電球に直列につなぐのに， 電流計の内部抵抗が大きかったら豆電球に流れる電流は小さくなってしまうでしょ？

５．練習問題

脱線してしまいました。もともとの話は課題５のことでした。 次の問題を解いて理解しよう。

内部抵抗が1Ωの電池ってそこそこ古いはずですが， このように，並列の場合は電池に流れる電流が大きくなるため， 電圧降下が大きくなってしまう。 そのため，１つ１つの豆電球に流れる電流は小さくなってしまうのです。

６．まとめ

内容的にはこれで一段落なんですが， ここまでは合成抵抗でも解けるんですね。 次回は合成抵抗では解けない問題にチャレンジしてみましょう。

※多くのクラスで，問題８（３）が残ってしまった。 次回の前半にまわしています。（合成抵抗が余計です）

授業を終えて。。。
・この授業で質問したS君は素晴らしいことに気付いている。 ただ，理解していない者，課題５の結果に何も思わない者には 果たして意味のある授業であったのだろうか？
・理解している者とわかっていない者の差が広がっている。
・はじめの問題演習も合成抵抗でできるので，それを示した方がいいのだろうか？
・本当につかませたい力は何か，もう一度考え直してプランを組み直そう。

← もどる 物理基礎の電磁気学�F

このページの 　トップへ

すすむ　→ 物理基礎の電磁気学�H